Puissances et racines
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Puissances et racines
Une puissance est une multiplication répétée, une racine fait le chemin inverse, et quelques règles simples sur les exposants permettent de tout calculer sans se perdre.
Objectifs
- Connaître la définition de \(a^n\) pour \(n\) entier (positif, nul ou négatif).
- Appliquer les propriétés des exposants pour simplifier une expression.
- Calculer des racines carrées et cubiques, et utiliser les exposants rationnels \(a^{\frac{1}{2}}\), \(a^{\frac{1}{3}}\), \(a^{\frac{p}{q}}\).
- Manipuler des expressions contenant des racines (développer, rendre un dénominateur rationnel).
1. Puissances entières
Le graphique montre \(y=x^n\). Fais varier \(n\) : pour \(n\) pair la courbe est symétrique (\((-x)^n=x^n\)), pour \(n\) impair elle change de signe avec \(x\).
On écrit tout en puissances de 2 : \(4^2=\left(2^2\right)^2=2^4\) et \(8^3=\left(2^3\right)^3=2^9\).
Numérateur : \(2^5\times 2^4=2^{9}\).
\(A=\dfrac{2^9}{2^9}=2^0=1\).
Voir la solution
\[\begin{align} B&=(3\times 2)\times 10^{5+3}=6\times 10^{8}\\ C&=\frac{6}{3}\times 10^{4-(-2)}=2\times 10^{6} \end{align}\]Combien vaut \(2^3\times 2^5\) ?
Même base : on additionne les exposants, \(3+5=8\).
Combien vaut \(5^{-2}\) ?
\(5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{25}=0{,}04\).
2. Racines carrées et racines cubiques
\(8^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4\).
\(9^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{9}\right)^3=3^3=27\).
Vérification : \(4^3=64=8^2\) et \(27^2=729=9^3\). Les résultats sont cohérents.
Combien vaut \(\sqrt[3]{-27}\) ?
\((-3)^3=-27\). Contrairement à la racine carrée, la racine cubique d'un négatif existe.
Combien vaut \(4^{\frac{3}{2}}\) ?
\(\left(\sqrt{4}\right)^3=2^3=8\).
3. Calculer avec des racines
On utilise \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=\sqrt{3}\), \(b=1\).
\(D=\left(\sqrt{3}\right)^2+2\times\sqrt{3}\times 1+1^2=3+2\sqrt{3}+1\).
\(D=4+2\sqrt{3}\).
Voir la solution
On multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée \(\sqrt{5}+2\) :
\[E=\frac{\sqrt{5}+2}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\]Combien vaut \(\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)\) ?
Identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) : \(7-2=5\).
Récapitulatif
- \(a^n\) : \(n\) facteurs égaux à \(a\) ; \(a^0=1\) et \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) pour \(a\neq 0\).
- Même base : produit, on additionne les exposants ; quotient, on les soustrait ; puissance de puissance, on les multiplie.
- \(\sqrt{a}\) pour \(a\geq 0\), \(\sqrt[3]{a}\) pour tout \(a\) ; \(a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p\) pour \(a\gt 0\).
- Avec des racines : identités remarquables et expression conjuguée.
Produit de puissances
\(a^m\times a^n=a^{m+n}\)
Puissance de puissance
\(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\)
Exposant négatif
\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\), par exemple \(2^{-3}=\dfrac{1}{8}\).
Racine cubique
Le nombre dont le cube vaut \(a\) : \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
Exposant rationnel
\(a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p\) : \(8^{\frac{2}{3}}=4\).
Expression conjuguée
\(\left(\sqrt{a}-b\right)\left(\sqrt{a}+b\right)=a-b^2\) pour enlever la racine du dénominateur.
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