Une puissance répète des facteurs ; une racine retrouve un nombre positif à partir de son carré.

Puissances et racines

Objectifs

Utiliser les puissances entières.
Simplifier des racines.
Vérifier les conditions de calcul.

Puissances : compter les facteurs

Pour un entier positif \(n\), \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\). L’exposant ne signifie pas multiplier la base par le nombre écrit en haut. Pour \(a\ne0\), \(a^0=1\) et \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Un exposant négatif donne un inverse, pas nécessairement un résultat négatif.

Exercice fictif : un carton contient trois paquets de trois cahiers. Compare le total à une multiplication par deux.

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On compte \[3\times3=3^2=9\] cahiers.

Au contraire, \(3\times2=6\) correspond à deux groupes de trois.

La base et le nombre de facteurs ont des rôles différents.

Que vaut \(2^{-3}\) ?

\(-8\)
\(\frac18\)
\(6\)

\(2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18\).

Les règles avec leurs conditions

Pour des exposants entiers et des bases permettant les calculs :

\[a^ma^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\ne0),\qquad (a^m)^n=a^{mn}.\]

On a aussi \((ab)^n=a^nb^n\). Pour un quotient, \(\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\), avec \(b\ne0\). Si un exposant négatif intervient, toute base concernée doit être non nulle. Ces règles portent sur les produits, pas sur une addition de puissances.

Calcule \(\frac{5^4\times5^2}{5^3}\).

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On regroupe : \[5^4\times5^2=5^6.\]

Puis \[\frac{5^6}{5^3}=5^3=125.\]

Quelle égalité est correcte ?

\(2^3+2^2=2^5\)
\((2^3)^2=2^6\)
\(2^3\times2^2=2^6\)

Une puissance de puissance multiplie les exposants ; un produit de même base les additionne.

Racines carrées : une réponse positive

Pour \(a\ge0\), \(\sqrt a\) est l’unique nombre positif ou nul dont le carré vaut \(a\). Dans les réels, la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie. Pour \(a,b\ge0\), \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\). Si \(b>0\), \(\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\). Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Un jardin fictif a une aire de \(72\,\mathrm{m^2}\). Donne la longueur exacte du côté.

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On écrit \[72=36\times2.\]

Donc \[\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.\]

Le côté vaut \(6\sqrt2\,\mathrm m\). On vérifie en élevant cette longueur au carré.

flowchart LR
A[Aire du carre] --> B[Racine carree]
B --> C[Longueur positive]
C --> D[Verifier par le carre]

Que vaut \(\sqrt{(-4)^2}\) ?

\(-4\)
\(4\)
\(16\)

\(\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Repère la base, l’exposant et les conditions, simplifie puis vérifie avec la définition.

Puissance

\(a^n\) répète \(n\) facteurs \(a\), pour un entier positif \(n\).

Inverse

\(a^{-n}=\frac1{a^n}\), pour \(a\ne0\).

Produit

\(a^ma^n=a^{m+n}\).

Racine

\(\sqrt a\ge0\) et \((\sqrt a)^2=a\), pour \(a\ge0\).

Valeur absolue

\(\sqrt{x^2}=|x|\).