Puissances et racines : les règles de calcul pas à pas

Une puissance est une multiplication répétée et une racine fait le chemin inverse : avec cinq règles d'exposants et trois règles de racines, on simplifie presque toutes les expressions de seconde.

Objectifs

Calculer avec des puissances d'exposant entier (positif, nul ou négatif) en appliquant les règles des exposants.
Écrire un nombre en notation scientifique et calculer avec cette écriture.
Simplifier des racines carrées, rendre un dénominateur rationnel.
Calculer des racines cubiques et passer des racines aux puissances rationnelles \(a^{\frac{p}{q}}\).

Étape 1 : la puissance d'exposant entier

Définitions

Soit \(a\) un nombre réel et \(n\) un entier naturel non nul.

\(a^n = \underbrace{a\times a\times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}\) : \(a\) est la base, \(n\) est l'exposant. Exemple : \(2^5 = 32\).
Pour \(a \neq 0\) : \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\). Exemple : \(5^{-2} = \dfrac{1}{25}\).

Les cinq règles des exposants

Pour \(a\) et \(b\) non nuls et \(m\), \(n\) entiers relatifs :

\[ \begin{align} a^m \times a^n &= a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n} \\ (a^m)^n &= a^{m\times n} & (a\times b)^n &= a^n \times b^n \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n &= \frac{a^n}{b^n} & & \end{align} \]

Exemple résolu 1

Simplifier \(A = \dfrac{2^5 \times 2^{-3}}{2^4}\).

Le numérateur est un produit de puissances de 2 : \(2^5 \times 2^{-3} = 2^{5+(-3)} = 2^2\).

On divise par \(2^4\) : \(\dfrac{2^2}{2^4} = 2^{2-4} = 2^{-2}\).

On écrit sans exposant négatif : \(A = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}\).

Exemple résolu 2 (bases différentes)

Simplifier \(C = \dfrac{6^3 \times 10^{-2}}{4 \times 15^2}\). Cherche d'abord, puis ouvre la solution.

Voir la solution

On décompose chaque base en facteurs premiers : \(6 = 2\times 3\), \(10 = 2\times 5\), \(4 = 2^2\), \(15 = 3\times 5\).

\[ \begin{align} C &= \frac{2^3\times 3^3 \times 2^{-2}\times 5^{-2}}{2^2 \times 3^2\times 5^2} \\ &= 2^{3-2-2}\times 3^{3-2}\times 5^{-2-2} \\ &= 2^{-1}\times 3 \times 5^{-4} = \frac{3}{2\times 625} = \frac{3}{1250} \end{align} \]

Vérification : \(\dfrac{216 \times 0{,}01}{4\times 225} = \dfrac{2{,}16}{900} = 0{,}0024\) et \(\dfrac{3}{1250} = 0{,}0024\).

Que vaut \(2^3 + 2^3\) ?

\(2^6\)
\(4^3\)
\(2^4\)

Il n'y a pas de règle pour une somme de puissances : \(2^3 + 2^3 = 2\times 2^3 = 2^4 = 16\). Les réponses \(2^6 = 64\) et \(4^3 = 64\) sont fausses.

Étape 2 : la notation scientifique

Tout nombre décimal positif non nul s'écrit de façon unique \(a \times 10^n\) avec \(1 \le a \lt 10\) et \(n\) entier relatif : c'est sa notation scientifique.

\(3\,200\,000 = 3{,}2 \times 10^6\) (la virgule recule de 6 rangs).
\(0{,}000\,45 = 4{,}5 \times 10^{-4}\) (la virgule avance de 4 rangs).

Exemple résolu 3

Calculer \(P = (3{,}2\times 10^6)\times(4{,}5\times 10^{-4})\) et donner le résultat en notation scientifique.

On regroupe les nombres d'un côté et les puissances de 10 de l'autre : \(P = (3{,}2\times 4{,}5)\times(10^6 \times 10^{-4})\).

On calcule : \(3{,}2\times 4{,}5 = 14{,}4\) et \(10^{6+(-4)} = 10^2\), donc \(P = 14{,}4\times 10^2\).

14,4 n'est pas entre 1 et 10 : \(14{,}4 = 1{,}44\times 10^1\), donc \(P = 1{,}44 \times 10^3 = 1\,440\).

Quelle est la notation scientifique de \(0{,}007\,2\) ?

\(7{,}2\times 10^{-3}\)
\(72\times 10^{-4}\)
\(7{,}2\times 10^{3}\)

Le nombre est inférieur à 1, donc l'exposant est négatif ; on déplace la virgule de 3 rangs pour obtenir 7,2, compris entre 1 et 10. \(72\times10^{-4}\) est égal mais n'est pas une notation scientifique.

Étape 3 : la racine carrée

Définition

Pour \(a \ge 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif ou nul dont le carré est \(a\) : \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\). Un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle.

Pour tout réel \(x\) : \(\sqrt{x^2} = |x|\). Par exemple \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\).

Avec \(n = 2\), le graphique montre que, pour \(x \ge 0\), les courbes de \(x \mapsto x^2\) et de \(x \mapsto \sqrt{x}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\) : la racine carrée « défait » le carré. Place le curseur sur \(n = 3\) pour voir le cube et la racine cubique (étape 4).

Règles de calcul

Pour \(a \ge 0\) et \(b \gt 0\) :

\[ \sqrt{a\times b} = \sqrt{a}\times\sqrt{b} \qquad\qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \]

Exemple résolu 4 : simplifier une racine

Écrire \(S = \sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}\) sous la forme \(k\sqrt{2}\).

On fait apparaître le plus grand carré parfait dans chaque radicande : \(50 = 25\times 2\), \(18 = 9\times 2\), \(8 = 4\times 2\).

On applique \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) : \(\sqrt{50} = 5\sqrt2\), \(\sqrt{18} = 3\sqrt2\), \(\sqrt{8} = 2\sqrt2\).

On regroupe comme des termes semblables : \(S = 5\sqrt2 + 3\sqrt2 - 2\sqrt2 = 6\sqrt2\).

Exemple résolu 5 : rendre un dénominateur rationnel

Écrire sans racine au dénominateur \(\dfrac{3}{\sqrt3}\) puis \(\dfrac{1}{\sqrt5 - 2}\).

Voir la solution

On multiplie en haut et en bas par \(\sqrt3\) : \(\dfrac{3}{\sqrt3} = \dfrac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3\).

Pour le second, on multiplie par la quantité conjuguée \(\sqrt5 + 2\) et on utilise \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) :

\[ \frac{1}{\sqrt5-2} = \frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)} = \frac{\sqrt5+2}{5-4} = \sqrt5+2 \]

Que vaut \(\sqrt{72}\) sous forme simplifiée ?

\(36\sqrt2\)
\(6\sqrt2\)
\(8\sqrt9\)

\(72 = 36\times 2\) et 36 est le plus grand carré parfait qui divise 72, donc \(\sqrt{72} = \sqrt{36}\times\sqrt2 = 6\sqrt2\).

Étape 4 : racine cubique et puissances rationnelles

Racine cubique

Pour tout réel \(a\), la racine cubique \(\sqrt[3]{a}\) est l'unique réel dont le cube est \(a\) : \(\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a\). Contrairement à la racine carrée, elle existe aussi pour un nombre négatif.

Exemples : \(\sqrt[3]{27} = 3\), \(\sqrt[3]{1000} = 10\), \(\sqrt[3]{-8} = -2\) car \((-2)^3 = -8\).

Puissances d'exposant rationnel

Pour \(a \gt 0\), \(p\) entier et \(q\) entier naturel non nul, on pose :

\[ a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}, \qquad a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}, \qquad a^{\frac{p}{q}} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^{p} \]

Les cinq règles des exposants restent vraies avec ces exposants. Par exemple \(\left(a^{\frac12}\right)^2 = a^{\frac12\times 2} = a^1 = a\).

Exemple résolu 6

Calculer \(8^{\frac23}\), \(16^{\frac34}\), \(27^{-\frac13}\) et \(\left(\sqrt2\right)^6\).

\(8^{\frac23} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\).

\(16^{\frac34} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8\), car \(2^4 = 16\).

\(27^{-\frac13} = \dfrac{1}{27^{\frac13}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac13\).

\(\left(\sqrt2\right)^6 = \left(2^{\frac12}\right)^6 = 2^{\frac62} = 2^3 = 8\).

Que vaut \(4^{\frac32}\) ?

6
\(\frac{3}{8}\)
8

\(4^{\frac32} = \left(\sqrt4\right)^3 = 2^3 = 8\). Il ne faut pas multiplier 4 par \(\frac32\).

Erreurs fréquentes

Multiplier la base par l'exposant : \(3^4 \neq 12\) ; en réalité \(3^4 = 81\).
Ajouter les exposants pour des bases différentes : \(2^3\times 5^2\) ne se simplifie pas en \(10^5\).
Croire que \(a^{-n}\) est négatif : \(10^{-2} = 0{,}01\).
Écrire \(\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b\) ou \(\sqrt{x^2} = x\) quand \(x\) peut être négatif.
Chercher \(\sqrt{-4}\) : un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle (mais \(\sqrt[3]{-8}\) existe).

Récapitulatif

\(a^n\) est un produit de \(n\) facteurs \(a\) ; \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) pour \(a \neq 0\).
Règles : \(a^m a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \((ab)^n = a^n b^n\), \(\left(\frac ab\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\).
Notation scientifique : \(a\times 10^n\) avec \(1 \le a \lt 10\).
\(\sqrt a\) (pour \(a\ge0\)) est positif ; \(\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b\), \(\sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}\), mais rien pour la somme.
\(\sqrt[3]{a}\) existe pour tout réel ; pour \(a \gt 0\), \(a^{\frac pq} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p\).

Cartes mémo

Exposant négatif

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) pour \(a \neq 0\), et \(a^0 = 1\).

Produit et quotient de puissances de même base

On additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient.

Notation scientifique

\(a\times10^n\) avec \(1\le a\lt 10\) et \(n\) entier relatif.

Racine carrée

Nombre positif dont le carré vaut \(a\) ; \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) mais \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\).

Quantité conjuguée

Pour \(\frac{1}{\sqrt a - b}\), multiplier par \(\sqrt a + b\) car \((\sqrt a - b)(\sqrt a + b) = a - b^2\).

Puissance rationnelle

\(a^{\frac pq} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p\) pour \(a\gt0\) : le dénominateur donne la racine.