Puissances, racines et notation
Puissances, racines carrées et notation scientifique
Une puissance est une multiplication répétée, une racine carrée « défait » un carré, et la notation scientifique écrit les très grands et les très petits nombres sous la forme \(a \times 10^n\) pour les comparer d'un coup d'œil.
Objectifs
- Calculer avec des puissances d'exposant entier (positif, nul ou négatif) et appliquer leurs règles.
- Connaître la définition et les propriétés de la racine carrée, et simplifier une racine.
- Écrire un nombre en notation scientifique et comparer des nombres ainsi écrits.
1. Les puissances d'exposant entier
Pour un réel \(a\) et un entier \(n \geq 1\) :
\[ a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}} \]On lit « \(a\) puissance \(n\) » ; \(n\) est l'exposant. Par convention, pour \(a \neq 0\) :
\[ a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]Exemples : \(2^5 = 32\) ; \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\) ; \(7^0 = 1\) ; \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
Le signe d'une puissance
Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair et négative s'il est impair : \((-2)^4 = 16\) et \((-2)^3 = -8\).
Les règles de calcul
Pour tous réels \(a\) et \(b\) non nuls et tous entiers \(m\) et \(n\) :
\begin{align} a^m \times a^n &= a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n} \\ (a^m)^n &= a^{m \times n} & (a \times b)^n &= a^n \times b^n \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n &= \frac{a^n}{b^n} \end{align}Exemple résolu 1
Écris \(A = \frac{3^4 \times 3^{-2}}{3^5}\) sous la forme d'une puissance de \(3\), puis calcule-le.
Exemple résolu 2
Montre que \(B = (2^3)^2 \times 5^6\) est une puissance de \(10\).
Voir la solution
\begin{align} B &= 2^{3 \times 2} \times 5^6 = 2^6 \times 5^6 \\ &= (2 \times 5)^6 = 10^6 \end{align}Donc \(B = 10^6 = 1\,000\,000\).
\(2^3 \times 2^4\) est égal à…
2. La racine carrée
Pour un réel \(a \geq 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) :
\[ \sqrt{a} \geq 0 \quad \text{et} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \]- \(\sqrt{0} = 0\), \(\sqrt{1} = 1\), \(\sqrt{81} = 9\), \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\).
- La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans \(\mathbb{R}\) : un carré n'est jamais négatif.
- Pour tout réel \(a\) : \(\sqrt{a^2} = |a|\). Par exemple \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\).
Propriétés
Pour tous réels \(a \geq 0\) et \(b > 0\) (ou \(b \geq 0\) pour le produit) :
\[ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \]Exemple résolu 3 : simplifier une racine
Écris \(\sqrt{72}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) entier le plus petit possible, puis calcule \(C = \sqrt{50} + \sqrt{18}\).
Exemple résolu 4 : pas de racine au dénominateur
Écris \(D = \frac{3}{\sqrt{2}}\) sans racine au dénominateur.
Voir la solution
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{2}\) :
\[ D = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]Combien vaut \(\sqrt{(-3)^2}\) ?
3. La notation scientifique
Tout nombre décimal positif non nul peut s'écrire de façon unique sous la forme :
\[ a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \leq a < 10 \text{ et } n \text{ entier relatif} \]C'est sa notation scientifique. Le nombre \(a\) a un seul chiffre non nul avant la virgule. Pour un nombre négatif, on écrit le signe devant : \(-3{,}2 \times 10^4\).
Méthode
- On place la virgule juste après le premier chiffre non nul.
- On compte de combien de rangs la virgule s'est déplacée : c'est la valeur de \(n\) (positif si le nombre est grand, négatif s'il est plus petit que 1).
La distance moyenne de la Terre au Soleil, environ 150 millions de kilomètres, s'écrit ainsi environ \(1{,}5 \times 10^8\) km.
Comparer deux nombres en notation scientifique
Pour deux nombres positifs, on compare d'abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre. Si les exposants sont égaux, on compare les nombres \(a\).
\[ 4{,}1 \times 10^{-3} > 9{,}8 \times 10^{-4} \quad \text{car } -3 > -4 \]Exemple résolu 5 : calculer
Donne la notation scientifique de \(E = (3 \times 10^5) \times (4 \times 10^{-2})\) et de \(F = \frac{6 \times 10^8}{2 \times 10^3}\).
Voir la solution
\begin{align} E &= (3 \times 4) \times 10^{5 + (-2)} = 12 \times 10^3 \\ &= 1{,}2 \times 10^1 \times 10^3 = 1{,}2 \times 10^4 \end{align}Attention : \(12 \times 10^3\) n'est pas une notation scientifique, car \(12 \geq 10\).
\[ F = \frac{6}{2} \times 10^{8 - 3} = 3 \times 10^5 \]Quelle est la notation scientifique de \(0{,}005\,6\) ?
Erreurs fréquentes
- Croire que \(2^{-3}\) est négatif : \(2^{-3} = \frac{1}{8}\).
- Multiplier les exposants au lieu de les additionner : \(a^2 \times a^3 = a^5\), pas \(a^6\).
- Confondre \(-2^4 = -16\) et \((-2)^4 = 16\).
- Écrire \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
- Laisser un nombre \(a\) supérieur ou égal à 10 en notation scientifique (\(12 \times 10^3\)).
Récapitulatif
- \(a^n\) : produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) ; \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (\(a \neq 0\)).
- \(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \((ab)^n = a^n b^n\).
- \(\sqrt{a}\) (avec \(a \geq 0\)) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) ; \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\).
- Notation scientifique : \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\) ; on compare d'abord les exposants.
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