Puissances, racines et notation : encadrer, comparer et estimer

Les puissances de 10 et les racines carrées servent à écrire, comparer et estimer des nombres très grands, très petits ou non décimaux, sans calculatrice.

Objectifs

Calculer avec des puissances d'exposant entier, positif ou négatif, en appliquant les règles pas à pas.
Encadrer une racine carrée entre deux entiers, puis entre deux décimaux.
Comparer des nombres écrits avec des racines carrées.
Écrire un nombre en notation scientifique, comparer deux nombres ainsi écrits et estimer un résultat.

1. Puissances d'exposant entier

Définitions

Pour un réel \(a\) et un entier \(n \geq 1\) :

\[a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}, \qquad a^1 = a.\]

Pour \(a \neq 0\) : \(a^0 = 1\) et \[a^{-n} = \frac{1}{a^n}.\]

Exemples : \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\) ; \(2^{-3} = \frac{1}{8}\) ; \((-3)^2 = 9\) mais \(-3^2 = -9\) ; \((-2)^3 = -8\).

Règles de calcul

Pour \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) et des entiers \(m\) et \(n\) :

\begin{align} a^m \times a^n &= a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n}\\ (a^m)^n &= a^{m \times n} & (a \times b)^n &= a^n \times b^n \end{align}

Exemple résolu 1

Écrire sous la forme d'une seule puissance, puis calculer : \(A = \frac{10^5 \times 10^{-2}}{10^4}\) et \(B = \frac{2^3 \times 2^{-5}}{2^{-4}}\).

Numérateur de \(A\) : on ajoute les exposants, \(10^5 \times 10^{-2} = 10^{5 + (-2)} = 10^3\).

Quotient : on soustrait les exposants, \(A = \frac{10^3}{10^4} = 10^{3 - 4} = 10^{-1} = 0{,}1\).

Pour \(B\) : \(2^3 \times 2^{-5} = 2^{-2}\), puis \(\frac{2^{-2}}{2^{-4}} = 2^{-2 - (-4)} = 2^{2}\).

Donc \(B = 4\). Attention au double signe moins : \(-2 - (-4) = -2 + 4 = 2\).

Combien vaut \(\left(10^{-2}\right)^3\) ?

\(10^{1}\)
\(10^{-5}\)
\(10^{6}\)
\(10^{-6}\)

Une puissance de puissance multiplie les exposants : \(-2 \times 3 = -6\). On n'additionne que pour un produit de puissances de même base.

2. Racine carrée : encadrer et comparer

Définition et propriétés

Pour \(a \geq 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) : \[\sqrt{a} \geq 0 \quad \text{et} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a.\]

Pour \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\) : \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) et, si \(b > 0\), \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\). En revanche, \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) en général : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\).

Encadrer une racine carrée

Pour des nombres positifs, plus le carré est grand, plus le nombre est grand. On encadre donc \(a\) par deux carrés connus.

Exemple résolu 2 : encadrer \(\sqrt{40}\)

On cherche deux carrés d'entiers consécutifs autour de 40 : \(6^2 = 36\) et \(7^2 = 49\), donc \(36 < 40 < 49\).

Les racines rangent les nombres positifs dans le même ordre : \(6 < \sqrt{40} < 7\).

Pour affiner au dixième, on essaie les carrés des décimaux entre 6 et 7 : \(6{,}3^2 = 39{,}69\) et \(6{,}4^2 = 40{,}96\).

Donc \(6{,}3 < \sqrt{40} < 6{,}4\) : il faut entre 6,3 m et 6,4 m de côté, soit un peu plus de \(4 \times 6{,}3 = 25{,}2\) m de grillage.

Exemple résolu 3 : comparer sans calculatrice

Comparer \(3\sqrt{5}\) et \(2\sqrt{11}\).

Voir la solution

Les deux nombres sont positifs : il suffit de comparer leurs carrés.

\[\left(3\sqrt{5}\right)^2 = 9 \times 5 = 45 \qquad \left(2\sqrt{11}\right)^2 = 4 \times 11 = 44.\]

Comme \(45 > 44\), on conclut que \(3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}\). Autre façon de voir : \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\) et \(2\sqrt{11} = \sqrt{44}\).

Entre quels entiers consécutifs se trouve \(\sqrt{90}\) ?

8 et 9
9 et 10
44 et 46
10 et 11

\(9^2 = 81\) et \(10^2 = 100\). Comme \(81 < 90 < 100\), on a \(9 < \sqrt{90} < 10\).

Lequel de ces nombres est le plus grand ?

\(3\sqrt{3}\)
\(5\)
\(2\sqrt{7}\)
\(\sqrt{26}\)

On compare les carrés : \(27\), \(25\), \(28\) et \(26\). Le plus grand carré est \(28 = \left(2\sqrt{7}\right)^2\).

3. Notation scientifique et estimation

Définition

Tout réel positif non nul s'écrit de façon unique sous la forme \[a \times 10^n \quad \text{avec} \quad 1 \leq a < 10 \text{ et } n \text{ entier relatif}.\]

Exemples : \(3\,450\,000 = 3{,}45 \times 10^6\) (la virgule recule de 6 rangs) ; \(0{,}000\,52 = 5{,}2 \times 10^{-4}\) (la virgule avance de 4 rangs). \(12{,}5 \times 10^3\) n'est pas une notation scientifique, car \(12{,}5 \geq 10\) : on écrit \(1{,}25 \times 10^4\).

Comparer deux nombres positifs en notation scientifique

On compare d'abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre.
À exposant égal, on compare les nombres \(a\).

Exemple : \(4{,}7 \times 10^{-3} > 9{,}1 \times 10^{-4}\), car \(-3 > -4\) (en effet \(0{,}0047 > 0{,}000\,91\)).

Exemple résolu 4 : calculer et estimer

Une école de Lomé commande 2 400 cahiers à 350 F CFA pièce. Calculer le coût en notation scientifique, puis vérifier par une estimation.

On écrit chaque nombre en notation scientifique : \(2\,400 = 2{,}4 \times 10^3\) et \(350 = 3{,}5 \times 10^2\).

On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre : \((2{,}4 \times 3{,}5) \times (10^3 \times 10^2) = 8{,}4 \times 10^5\).

Le coût est donc \(8{,}4 \times 10^5 = 840\,000\) F CFA.

Estimation : on arrondit à un chiffre significatif, \(2\,000 \times 400 = 800\,000\). Les deux résultats sont proches : le calcul est plausible.

Exemple résolu 5 : remettre en notation scientifique

Calculer \(C = (5 \times 10^4) \times (3 \times 10^{-1})\) et \(D = \frac{6 \times 10^{-3}}{1{,}5 \times 10^2}\).

Voir la solution

\(C = 15 \times 10^{3}\). Mais \(15 \geq 10\) : on écrit \(15 = 1{,}5 \times 10^1\), donc \(C = 1{,}5 \times 10^{1} \times 10^{3} = 1{,}5 \times 10^{4}\).

\(D = \frac{6}{1{,}5} \times 10^{-3 - 2} = 4 \times 10^{-5}\).

Quelle est la notation scientifique de \(0{,}0072\) ?

\(7{,}2 \times 10^{-4}\)
\(7{,}2 \times 10^{-3}\)
\(7{,}2 \times 10^{3}\)
\(72 \times 10^{-3}\)

On déplace la virgule de 3 rangs vers la droite pour obtenir 7,2, donc l'exposant est \(-3\). La dernière proposition vaut \(0{,}072\), dix fois trop.

Lequel de ces nombres est le plus grand ?

\(9{,}9 \times 10^{4}\)
\(8{,}7 \times 10^{4}\)
\(1{,}2 \times 10^{5}\)

On compare d'abord les exposants : 5 est plus grand que 4, donc \(1{,}2 \times 10^5 = 120\,000\) dépasse \(99\,000\) et \(87\,000\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), \(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\).
\(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) ; on l'encadre par deux carrés connus.
Pour comparer deux nombres positifs écrits avec des racines, on compare leurs carrés.
Notation scientifique : \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\) ; on compare d'abord les exposants, puis les nombres \(a\).
Une estimation à un chiffre significatif permet de vérifier un calcul.

Exposant négatif

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) : c'est un inverse, le nombre reste positif si \(a > 0\).

Produit et quotient de puissances

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\) et \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

Racine carrée

Pour \(a \geq 0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\).

Encadrer une racine

Trouver deux carrés autour du nombre : \(36 < 40 < 49\) donne \(6 < \sqrt{40} < 7\).

Notation scientifique

\(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\) et \(n\) entier relatif.