Objectifs

• Calculer avec des puissances d'exposant entier (positif, nul ou négatif) en appliquant les règles opératoires.
• Connaître la définition de la racine carrée et ses propriétés, simplifier une racine et écrire un quotient sans racine au dénominateur.
• Écrire un nombre en notation scientifique, calculer et comparer des nombres écrits sous cette forme.

1. Puissances d'exposant entier

Définitions

Soit \(a\) un nombre réel et \(n\) un entier naturel non nul.

• \(a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}\) ; \(a\) est la base, \(n\) est l'exposant.
• Pour \(a \neq 0\) : \(a^{0} = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). Ainsi \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\) est l'inverse de \(a\).

Exemples : \(2^{5} = 32\), \((-3)^{2} = 9\), \(-3^{2} = -9\), \(5^{-2} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04\), \(10^{-3} = 0{,}001\).

Règles opératoires

Pour \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) et \(m\), \(n\) entiers relatifs :

Exemple résolu 1

Écrire \(A = \dfrac{2^{3} \times 2^{-5}}{2^{-4}}\) sous la forme d'une puissance de 2, puis calculer \(A\).

Exemple résolu 2

Simplifier \(B = \dfrac{\left(3^{2}\right)^{3} \times 5^{4}}{3^{4} \times 5^{3}}\).

2. Racine carrée

Définition

Pour \(a \geq 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif ou nul dont le carré est égal à \(a\) : \(\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a\) et \(\sqrt{a} \geq 0\). La racine carrée d'un nombre strictement négatif n'existe pas dans \(\mathbb{R}\).

Propriétés

Pour \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\) (avec \(b \neq 0\) pour le quotient) :

Pour un réel \(x\) quelconque, \(\sqrt{x^{2}} = |x|\) : par exemple \(\sqrt{(-5)^{2}} = \sqrt{25} = 5\).

Exemple résolu 3 : simplifier une somme de racines

Écrire \(C = \sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}\) sous la forme \(k\sqrt{2}\).

Exemple résolu 4 : dénominateur sans racine

Écrire \(D = \dfrac{6}{\sqrt{3}}\) sans racine au dénominateur.

3. Notation scientifique

Définition

Tout nombre décimal non nul \(x\) s'écrit de façon unique sous la forme

\(a\) a donc un seul chiffre non nul avant la virgule. Exemples : \(47\,300 = 4{,}73 \times 10^{4}\) ; \(0{,}003\,2 = 3{,}2 \times 10^{-3}\) ; \(-560 = -5{,}6 \times 10^{2}\).

flowchart LR
A[Nombre positif] --> B[Placer la virgule apres le premier chiffre non nul]
B --> C[Compter les rangs de deplacement]
C --> D{Nombre de depart}
D -->|10 ou plus| E[Exposant positif]
D -->|entre 1 et 10| G[Exposant nul]
D -->|moins de 1| F[Exposant negatif]

Exemple résolu 5

Donner la notation scientifique de \(E = \dfrac{4 \times 10^{5} \times 3 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-3}}\).

Exemple résolu 6

Écrire \(F = 0{,}52 \times 10^{-4}\) et \(G = 380 \times 10^{3}\) en notation scientifique.

Erreurs fréquentes

• Croire que \(a^{-n}\) est négatif : \(10^{-2} = 0{,}01 \gt 0\).
• Oublier que \(a^{0} = 1\) (et non 0) pour \(a \neq 0\).
• Écrire \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\), ou \(\sqrt{x^{2}} = x\) quand \(x\) est négatif.
• Laisser \(25 \times 10^{3}\) comme « notation scientifique » : il faut \(2{,}5 \times 10^{4}\).
• Multiplier les exposants au lieu de les additionner dans \(a^{m} \times a^{n}\).

Récapitulatif

• \(a^{n}\) : produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) ; \(a^{0} = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\) pour \(a \neq 0\).
• Même base : on additionne (produit) ou on soustrait (quotient) les exposants ; puissance d'une puissance : on multiplie.
• \(\sqrt{a}\) (pour \(a \geq 0\)) est le nombre positif ou nul de carré \(a\) ; \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) mais \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) en général.
• Notation scientifique : \(a \times 10^{n}\) avec \(1 \le |a| \lt 10\) ; pour comparer, on regarde d'abord les exposants.