Introduction

Les pyramides et les cônes sont des solides géométriques dont l'étude permet de comprendre leurs propriétés, notamment en termes de surfaces et de volumes. Certains théorèmes permettent de calculer ces grandeurs grâce à des démonstrations géométriques ou algébriques.

Théorème de Pyramides : volume

Le volume \(V\) d'une pyramide de base \(B\) et de hauteur \(h\) est donné par la formule :

\[ V = rac{1}{3} imes B imes h \]

Ce théorème peut être démontré en comparant la pyramide à un prisme de même base et de même hauteur, en utilisant la méthode du limite ou par des décompositions géométriques.

Théorème du cône : volume

Le volume \(V\) d'un cône de rayon de la base \(r\) et de hauteur \(h\) est :

\[ V = rac{1}{3} \pi r^2 h \]

Ce résultat peut être démontré en comparant le cône à une pyramide creuse ou en utilisant le calcul intégral pour sommer des infinitésimales de secteurs circulaires.

Démonstration du théorème du volume de la pyramide

Voici une démonstration simplifiée :

1. Considérons un prisme à base identique à la base de la pyramide et de même hauteur.
2. Le volume de ce prisme est \(V_{prisme} = B imes h\).
3. On réalise une série de coupes horizontales pour comparer la pyramide au prisme.
4. En utilisant la similarité des sections transversales, on montre que le volume de la pyramide est un tiers de celui du prisme :

\[ V = rac{1}{3} V_{prisme} = rac{1}{3} imes B imes h \]

Démonstration du volume du cône

De même, on peut démontrer que :

1. Le cône est assimilé à une série de sectors circulaires dont le rayon diminue avec la hauteur.
2. En intégrant la somme des secteurs de rayon \(r(z)\) à la distance \(z\) de la base, on obtient :

\[ V = \int_0^h \pi r(z)^2 \, dz \]

\[ V = \pi \int_0^h \left(rac{r}{h} z ight)^2 dz = \pi rac{r^2}{h^2} \int_0^h z^2 dz = \pi rac{r^2}{h^2} imes rac{h^3}{3} = rac{1}{3} \pi r^2 h \]