Racine carrée : retrouver le côté quand on connaît l'aire

La racine carrée d'un nombre positif \(a\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) : elle « défait » le carré, comme on retrouve le côté d'un terrain carré à partir de son aire.

Objectifs

Connaître la définition de \(\sqrt{a}\) et les carrés parfaits usuels.
Utiliser les règles \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) et \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), et éviter le piège de la somme.
Simplifier une racine, réduire une somme de racines et rendre un dénominateur entier.
Résoudre une équation \(x^2 = a\) et utiliser la racine carrée dans un problème.

1. Définition : la racine carrée défait le carré

Conséquences :

\(\sqrt{0} = 0\), \(\sqrt{1} = 1\), \(\sqrt{9} = 3\), \(\sqrt{144} = 12\).
Si \(a \geq 0\), alors \(\sqrt{a^2} = a\). Par exemple \(\sqrt{7^2} = 7\).
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : aucun carré n'est négatif, donc \(\sqrt{-4}\) n'existe pas.

Les carrés parfaits à connaître par cœur : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Leur racine est un nombre entier. Pour les autres, comme \(\sqrt{2}\) ou \(\sqrt{5}\), la racine n'est pas un nombre décimal : on garde l'écriture exacte ou on donne une valeur approchée (\(\sqrt{2} \approx 1{,}414\)).

Fais varier \(a\) ci-dessous : la droite horizontale \(y = a\) coupe la courbe de la racine carrée au point d'abscisse \(a^2\). Par exemple pour \(a = 3\), elle coupe en \(x = 9\), car \(\sqrt{9} = 3\).

Exemple résolu 1 : encadrer une racine

Encadrer \(\sqrt{5}\) entre deux entiers, puis entre deux décimaux au dixième.

Carrés parfaits voisins : \(4 < 5 < 9\), donc \(\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}\), soit \(2 < \sqrt{5} < 3\).

Au dixième : \(2{,}2^2 = 4{,}84\) et \(2{,}3^2 = 5{,}29\).

Comme \(4{,}84 < 5 < 5{,}29\), on obtient \(2{,}2 < \sqrt{5} < 2{,}3\).

Combien vaut \(\sqrt{(-3)^2}\) ?

\(-3\)
\(3\)
\(9\)

\((-3)^2 = 9\) et \(\sqrt{9} = 3\). Une racine carrée est toujours positive ou nulle, donc le résultat ne peut pas être \(-3\).

2. Les règles de calcul (et le grand piège)

Pour tous nombres \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\) (avec \(b \neq 0\) pour le quotient) :

\[\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\]

Simplifier une racine

Méthode : on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre, puis on applique \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\).

Exemple résolu 2

Écrire \(\sqrt{72}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\), avec \(b\) entier le plus petit possible.

Plus grand carré parfait qui divise 72 : 36, car \(72 = 36 \times 2\).

\[\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}\]

\[\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]

Exemple résolu 3 : réduire une somme

Calculer \(A = \sqrt{12} + \sqrt{27}\) et \(B = 3\sqrt{20} - \sqrt{5}\).

Voir la solution

\begin{align} A &= \sqrt{4 \times 3} + \sqrt{9 \times 3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\\ B &= 3\sqrt{4 \times 5} - \sqrt{5} = 3 \times 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = 6\sqrt{5} - \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \end{align}

On additionne les racines « de même nature » comme des objets identiques : 2 sacs de \(\sqrt{3}\) plus 3 sacs de \(\sqrt{3}\) font 5 sacs de \(\sqrt{3}\).

Exemple résolu 4 : produits et dénominateur

Calculer \(\sqrt{3} \times \sqrt{12}\), \((2\sqrt{3})^2\) et écrire \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) sans racine au dénominateur.

Voir la solution

\begin{align} \sqrt{3} \times \sqrt{12} &= \sqrt{36} = 6\\ (2\sqrt{3})^2 &= 2^2 \times \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 \times 3 = 12\\ \frac{6}{\sqrt{3}} &= \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \end{align}

Pour enlever la racine du dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette même racine.

Combien vaut \(\sqrt{16 + 9}\) ?

\(7\)
\(25\)
\(5\)

On calcule d'abord sous la racine : \(16 + 9 = 25\), puis \(\sqrt{25} = 5\). La réponse 7 vient du piège \(\sqrt{16} + \sqrt{9}\).

Quelle est l'écriture simplifiée de \(\sqrt{50}\) ?

\(5\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{5}\)
\(25\sqrt{2}\)

\(50 = 25 \times 2\), donc \(\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\).

3. Résoudre \(x^2 = a\) et résoudre des problèmes

Exemple résolu 5

Résoudre \(x^2 = 49\), \(x^2 = 5\) et \(x^2 = -4\).

\(49 > 0\) : \(x = 7\) ou \(x = -7\).

\(5 > 0\) : \(x = \sqrt{5}\) ou \(x = -\sqrt{5}\).

\(-4 < 0\) : un carré n'est jamais négatif, l'équation n'a aucune solution.

Exemple résolu 6 : la clôture de Moussa

Le terrain carré de Moussa mesure \(400\ \mathrm{m^2}\). Le grillage coûte 500 F CFA le mètre. Combien va-t-il payer pour clôturer tout le tour ?

Voir la solution

Le côté \(c\) vérifie \(c^2 = 400\) avec \(c > 0\) (une longueur est positive), donc \(c = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{m}\).

\[\text{Périmètre} = 4 \times 20 = 80\ \mathrm{m} \qquad \text{Prix} = 80 \times 500 = 40\,000\ \text{F CFA}\]

Moussa paiera 40 000 F CFA de grillage.

Exemple résolu 7 : avec Pythagore

Un carreau carré a un côté de 1 dm. Quelle est la longueur de sa diagonale ?

Voir la solution

La diagonale \(d\) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 1 et 1 : \(d^2 = 1^2 + 1^2 = 2\), avec \(d > 0\). Donc \(d = \sqrt{2} \approx 1{,}41\ \mathrm{dm}\).

Combien l'équation \(x^2 = 81\) a-t-elle de solutions ?

une seule : 9
deux : 9 et −9
aucune

\(81 > 0\), donc il y a deux solutions : \(\sqrt{81} = 9\) et \(-9\), car \((-9)^2 = 81\) aussi.

Erreurs fréquentes

Écrire \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) : c'est faux en général (\(\sqrt{25} = 5\), pas 7).
Donner une racine carrée négative : \(\sqrt{9} = 3\), jamais \(-3\). Le signe « moins » apparaît seulement dans les solutions de \(x^2 = a\).
Oublier la solution négative de \(x^2 = a\) (sauf dans un problème de longueur, où elle est écartée).
Simplifier avec un carré parfait qui n'est pas le plus grand : \(\sqrt{72} = 2\sqrt{18}\) est juste mais pas terminé ; il faut aller jusqu'à \(6\sqrt{2}\).
Additionner des racines différentes : \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) ne fait pas \(\sqrt{5}\) et ne se simplifie pas.

Récapitulatif

Pour \(a \geq 0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) ; \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) et \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), mais pas de règle pour la somme.
Simplifier : extraire le plus grand carré parfait ; réduire : additionner les racines identiques.
\(x^2 = a\) : deux solutions si \(a > 0\), une si \(a = 0\), aucune si \(a < 0\).

Définition de la racine carrée

Pour a positif, le nombre positif dont le carré vaut a

Produit et quotient

Racine de ab = racine de a fois racine de b ; même règle pour le quotient

Le piège de la somme

Racine de 9 + 16 = 5, alors que 3 + 4 = 7 : pas de règle pour la somme

Simplifier une racine

Extraire le plus grand carré parfait : racine de 72 = 6 racine de 2

Équation x² = a

a positif : deux solutions opposées ; a nul : 0 ; a négatif : aucune