Racine carrée : Calculs et simplifications (Niveau 3e)
Racine carrée : Calculs et simplifications
Calculer, factoriser et simplifier des racines carrées en utilisant les propriétés et des exemples concrets.
Objectifs
- Comprendre la définition et le sens de la racine carrée.
- Calculer des racines carrées simples et simplifier des expressions sous racine.
- Utiliser les propriétés \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\) et \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) lorsque c'est possible.
- Estimer des valeurs approchées et reconnaître les fausses simplifications.
Notions clés
Définition
On appelle racine carrée d'un nombre \(r\) le nombre \( \sqrt{r} \) tel que \( (\sqrt{r})^2 = r \), et nous imposons \( \sqrt{r} \ge 0 \) lorsque \( r \ge 0 \).
Propriétés et simplification
Par propriétés: \[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} \quad (a,b \ge 0) \] \[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a,b \ge 0) \] et, pour tout réel \(a\), \( \sqrt{a^2}=|a| \).
Estimation et valeurs approchées
On peut estimer une racine carrée en identifiant le carré parfait immédiatement au-dessous et au-dessus du nombre. Par défaut, on peut aussi utiliser une approximation numérique comme l'algorithme de Newton pour améliorer rapidement une valeur approximative.
Exemples résolus
Exemple 1 : calculer \(\sqrt{25}\)
On cherche le nombre dont le carré donne 25. Or \(5^2 = 25\).
Exemple 2 : simplification de \(\sqrt{72}\)
On décompose sous la racine : \(72 = 36 \cdot 2\).
Utilisation de la propriété : \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36}\,\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Voir la solution
Graphique interactif : y = \(\sqrt{x}\)
Ce graphique illustre la fonction racine carrée, définie pour \(x\ge 0\).
Exemple 3 : simplifier \(\sqrt{50}\) et \(\sqrt{18}\) en utilisant les propriétés
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25}\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\). \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9}\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).
Remarque : on peut aussi écrire \(\sqrt{a^2}=|a|\) et donc \(\sqrt{(7)^2}=|7|=7\).
Erreurs fréquentes
Par exemple, \(\sqrt{(-3)^2}\) vaut \(3\), et non \(-3\). Pour la même raison, \(\sqrt{16}=4\), pas \(-4\).
Question : Quelle est l’égalité correcte ?
Récapitulatif
- Par définition, la racine carrée est non négative et vérifie \( (\sqrt{r})^2 = r \) pour \( r \ge 0 \).
- Propriétés importantes : \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\) et \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) lorsque \(a,b\ge 0\).
- Pour les carrés parfaits, on peut sortir des facteurs carrés hors de la racine : \(\sqrt{u^2v}=|u|\sqrt{v}\).
- Toujours vérifier s’il est possible d’identifier des carrés parfaits pour simplifier.
Cartes mémo
Schéma : décomposition en produit de carrés
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