Racine carrée : Calculs et simplifications

Objectifs

Comprendre ce qu\'est la racine carrée et quand l\'utiliser.
Savoir simplifier des racines en utilisant les facteurs perfects.
Maîtriser les règles de calcul avec les racines et les propriétés associées.
Résoudre des expressions contenant des racines carrées et vérifier les résultats.

Notions clés

Définition: La racine carrée d\'un nombre x est notée \(\sqrt{x}\) et vérifie \( (\sqrt{x})^2 = x \) pour tout x ≥ 0. On appelle aussi racine principale la valeur non négative de \(\sqrt{x}\).

Propriété 1: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) pour \(a,b \ge 0\).
Propriété 2: \(\sqrt{a^2} = a\) pour \(a \ge 0\).
Propriété 3: Rationalisation et simplification des facteurs premiers, par exemple \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2}\).

Exemples résolus

Exemple 1: Simplifier \(\sqrt{50}\).

Étape 1: factoriser 50 en produits premiers: \(50 = 2 \times 5^2\).

Étape 2: appliquer la règle \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\): \(\sqrt{50} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5^2} = \sqrt{2} \cdot 5\).

Étape 3: obtenir la forme simplifiée: \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).

Voir la solution

La solution est: \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25}\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\).

Quel est le résultat de \( \sqrt{36} \) ?

C\'est 6, car \(6^2 = 36\).

Erreurs fréquentes

Confondre \( \sqrt{a^2 b} \) et \( \sqrt{a^2} \sqrt{b} \).
Ne pas reconnaître les facteurs carrés parfaits dans \( \sqrt{72} \).

Récapitulatif

Récapitulatif rapide: Pour simplifier \( \sqrt{n} \), factoriser en produit de carrés parfaits et sortir les carrés: \(\sqrt{n} = \sqrt{n_1} \sqrt{n_2} = ...\). Exemple: \(\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10 \sqrt{2}\).

Notion

Racine carrée: notée \( \sqrt{x} \); principal; propriété \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \).

Formule clé

\(\sqrt{n} = \) la valeur positive qui, lorsque multipliée par elle-même, donne n.

Quelle est la simplification correcte de \(\sqrt{72}\) ?

6√2
12√3
8√9

\(72 = 36 \cdot 2\); \(\sqrt{72} = \sqrt{36} \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}\).