Objectifs

• Donner la définition de la racine carrée principale et préciser le domaine de validité.
• Connaître les notations courantes: \(\sqrt{a}\) et les propriétés de base.
• Réaliser des calculs simples et interpréter des résultats graphiquement.

Notions clés

Définition: La racine carrée principale d’un nombre réel \(a\) est le nombre \(b \ge 0\) tel que \(b^2 = a\). On écrit \(\sqrt{a} = b\) quand \(a \ge 0\).

Notations usuelles: on note la racine carrée par \(\sqrt{a}\). On peut aussi écrire \(a^{1/2} = \sqrt{a}\).

Propriété clé: pour tout \(a \ge 0\), \[ \sqrt{a^2} = |a| \] et pour tout \(a,b \ge 0\), \[ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}. \]

Exemple rapide (notation): si \(a = 9\), alors \(\sqrt{a} = 3\) et \(3^2 = 9\).

Propriété pratique: pour tout \(a \ge 0\), \(\sqrt{a^2} = |a|\). Par exemple, pour \(a = -5\), \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\).

Exemples résolus

Erreurs fréquentes

• Confondre sqrt(a^2) avec a; c’est |a| si a est réel.
• Penser que \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) pour tout a, b; c’est vrai pour a, b ≥ 0.
• Oublier que la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel.

Récapitulatif

Racine carrée principale: \(a \ge 0 \Rightarrow \sqrt{a} \ge 0\) et \(\sqrt{a}^2 = a\). Notations courantes: \(\sqrt{a}\), \(a^{1/2}\). Propriété clé: \(\sqrt{a^2} = |a|\) et \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) lorsque \(a,b \ge 0\).

Cartes mémo

Schéma: relation entre côté et aire d’un carré

Quiz rapide

Conclusion courte

La racine carrée est une opération d’inversion de la multiplication par elle-même sur les réels non négatifs, avec des notations claires et des propriétés utiles pour les calculs et les géométries simples.