Racine carrée : estimer, comparer et calculer avec les identités remarquables
Racine carrée : estimer, comparer et calculer avec les identités remarquables
On peut estimer une racine carrée sans calculatrice, comparer deux racines en comparant leurs carrés, et calculer des expressions avec des racines grâce aux identités remarquables, jusqu'à rendre un dénominateur entier avec l'expression conjuguée.
Objectifs
- Estimer une racine carrée par encadrement puis par la méthode de Héron.
- Construire une longueur égale à \(\sqrt{2}\) et la placer sur une droite graduée.
- Comparer deux nombres écrits avec des racines carrées.
- Développer des expressions avec des racines à l'aide des identités remarquables.
- Rendre entier un dénominateur de la forme \(\sqrt{a} - b\) ou \(\sqrt{a} + b\).
Rappels indispensables
Pour \(a \geq 0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) : \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\). Pour \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\) : \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}\). Identités remarquables :
\begin{align} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2\\ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2\\ (a+b)(a-b) &= a^2 - b^2 \end{align}1. Estimer une racine carrée sans calculatrice
Méthode 1 : l'encadrement par les carrés parfaits
Si \(0 \leq a < b\), alors \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) : la racine carrée conserve l'ordre. On cherche donc les carrés parfaits qui entourent le nombre.
Méthode 2 : la méthode de Héron (ou des Babyloniens)
Pour approcher \(\sqrt{a}\), on part d'une valeur \(x\) proche, puis on la remplace par la moyenne de \(x\) et de \(\dfrac{a}{x}\) :
\[x_{\text{nouveau}} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right)\]Exemple résolu 1 : approcher \(\sqrt{10}\)
Partir de \(x = 3\) et faire deux étapes de la méthode de Héron. Cherche d'abord.
Voir la solution
Étape 1 : \[x_1 = \frac{1}{2}\left(3 + \frac{10}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{19}{3} = \frac{19}{6} \approx 3{,}1667\]
Étape 2 : \(\dfrac{10}{19/6} = \dfrac{60}{19} \approx 3{,}1579\), donc \[x_2 \approx \frac{1}{2}\left(3{,}1667 + 3{,}1579\right) = 3{,}1623\]
Vérification : \(3{,}1623^2 \approx 10{,}0001\). Deux étapes suffisent pour obtenir \(\sqrt{10} \approx 3{,}162\).
Construire \(\sqrt{2}\)
Certaines racines se construisent exactement. Dans un carré de côté 1, la diagonale \(d\) vérifie, d'après le théorème de Pythagore, \(d^2 = 1^2 + 1^2 = 2\), donc \(d = \sqrt{2}\). Avec un compas, on reporte cette diagonale sur la droite graduée.
On trace un carré de côté 1 sur la droite graduée, à partir de 0.
Sa diagonale mesure \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
Avec le compas centré en 0, on rabat la diagonale sur la droite : le point obtenu a pour abscisse \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), entre 1 et 2.
Entre quels entiers consécutifs se trouve \(\sqrt{90}\) ?
2. Comparer des nombres avec des racines
Pour des nombres positifs, comparer les nombres revient à comparer leurs carrés : si \(x \geq 0\) et \(y \geq 0\), alors \(x < y\) équivaut à \(x^2 < y^2\).
Exemple résolu 2 : les plinthes de Kodjo
Un nombre et sa racine
La courbe de \(y = \sqrt{x}\) et la droite \(y = x\) se coupent en \(x = 0\) et \(x = 1\). Fais varier \(a\) : la droite horizontale \(y = a\) coupe la courbe de la racine au point d'abscisse \(a^2\).
Comparer \(4\sqrt{3}\) et 7.
3. Développer avec les identités remarquables
Exemple résolu 3 : carré d'une somme et d'une différence
Exemple résolu 4 : le produit qui fait disparaître la racine
Calculer \(\left(\sqrt{7} - 2\right)\left(\sqrt{7} + 2\right)\) et \(\left(3 + \sqrt{2}\right)\left(3 - \sqrt{2}\right)\). Cherche d'abord.
Voir la solution
\[\left(\sqrt{7} - 2\right)\left(\sqrt{7} + 2\right) = \left(\sqrt{7}\right)^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3\] \[\left(3 + \sqrt{2}\right)\left(3 - \sqrt{2}\right) = 3^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2 = 9 - 2 = 7\]Avec \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\), les racines disparaissent : le résultat est un entier.
Que vaut \(\left(\sqrt{5} + 2\right)^2\) ?
4. Rendre un dénominateur entier avec l'expression conjuguée
Les nombres \(\sqrt{a} - b\) et \(\sqrt{a} + b\) sont dits conjugués : leur produit \(a - b^2\) ne contient plus de racine. Pour rendre entier le dénominateur d'une fraction, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple résolu 5
Écrire \(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2}\) puis \(\dfrac{6}{3 + \sqrt{3}}\) sans racine au dénominateur.
Par quoi multiplie-t-on le numérateur et le dénominateur de \(\dfrac{4}{\sqrt{6} + 2}\) pour rendre le dénominateur entier ?
5. Problème de synthèse : le puits du village
Voir la solution
L'aire d'un disque est \(A = \pi r^2\), donc \(r^2 = \dfrac{A}{\pi}\) et, comme \(r\) est positif, \(r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}\).
\[r = \sqrt{\frac{12{,}56}{3{,}14}} = \sqrt{4} = 2\ \mathrm{m}\]Si l'aire était \(10\ \mathrm{m^2}\), on aurait \(r = \sqrt{\dfrac{10}{3{,}14}} \approx \sqrt{3{,}18}\) ; comme \(1{,}7^2 = 2{,}89\) et \(1{,}8^2 = 3{,}24\), le rayon serait compris entre \(1{,}7\) m et \(1{,}8\) m, plus proche de \(1{,}8\) m.
Erreurs fréquentes
Récapitulatif
- Encadrer \(\sqrt{a}\) : chercher les carrés parfaits voisins, puis affiner au dixième.
- Méthode de Héron : \(x_{\text{nouveau}} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right)\), très rapide.
- \(\sqrt{2}\) est la diagonale d'un carré de côté 1.
- Pour comparer des nombres positifs, on compare leurs carrés.
- Identités remarquables : \(\left(\sqrt{a} - b\right)\left(\sqrt{a} + b\right) = a - b^2\) fait disparaître la racine, ce qui sert à rendre un dénominateur entier.
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