Objectifs

• Résoudre une équation du type \(x^2 = a\) en distinguant les cas \(a > 0\), \(a = 0\) et \(a < 0\).
• Simplifier un radical en cherchant le plus grand carré parfait caché dedans, par exemple \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).
• Réduire une somme de radicaux, comme \(\sqrt{12} + \sqrt{75}\).
• Écrire un quotient sans radical au dénominateur.
• Utiliser la racine carrée pour résoudre un problème de longueur : côté d'un carré, diagonale, hypoténuse.

Notions clés

Étape 0 : le rappel indispensable

Carrés parfaits à connaître par cœur pour la suite : \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144\).

Étape 1 : résoudre l'équation \(x^2 = a\)

Deux nombres opposés ont le même carré : \(20^2 = 400\) et \((-20)^2 = 400\). L'équation a donc deux solutions, mais une longueur est positive : le côté mesure \(20\ \text{m}\).

Le graphique ci-dessous montre la courbe de \(y = x^2\) et la droite horizontale \(y = a\). Déplace le curseur \(a\) : les solutions sont les abscisses des points où la droite coupe la courbe. Pour \(a\) négatif, la droite passe sous la courbe : aucune solution.

Exemple résolu 1

Résous \(x^2 = 49\), puis \(x^2 = 7\), puis \(x^2 + 5 = 1\).

Étape 2 : simplifier un radical

On utilise la règle : pour \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\), \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\).

Exemple résolu 2

Écris \(\sqrt{72}\) et \(\sqrt{50}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\), avec \(b\) entier le plus petit possible.

Étape 3 : réduire une somme de radicaux

On ne peut additionner que des radicaux « de la même famille », comme on additionne des objets de même nature : \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\), comme 3 sacs + 5 sacs = 8 sacs. Il faut donc souvent simplifier d'abord.

Exemple résolu 3

Calcule \(A = \sqrt{12} + \sqrt{75}\) et \(B = 3\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{18}\).

Étape 4 : enlever le radical du dénominateur

Par convention, on écrit un quotient sans radical au dénominateur : le résultat est plus facile à comparer et à calculer. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre, ce qui ne change pas le quotient.

Exemple résolu 4

Écris sans radical au dénominateur : \(C = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\) et \(D = \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}\).

Étape 5 : résoudre un problème de longueur

Exemple résolu 5

La diagonale d'un carré se calcule aussi avec une racine carrée. Dans le carré de côté \(c\) ci-dessous, le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABC donne \(AC^2 = c^2 + c^2 = 2c^2\), donc \(AC = c\sqrt{2}\).

Exemple résolu 6

Un triangle EFG est rectangle en F avec \(EF = 2\ \text{cm}\) et \(FG = 4\ \text{cm}\). Calcule la valeur exacte de \(EG\), puis une valeur approchée au dixième.

Erreurs fréquentes

• Écrire \(\sqrt{-9} = -3\) : faux, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
• Écrire \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) : faux (voir \(\sqrt{9 + 16} = 5 \neq 7\)).
• Additionner des radicaux différents : \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) n'est pas \(\sqrt{5}\) et ne se simplifie pas.
• S'arrêter trop tôt en simplifiant : \(2\sqrt{18}\) n'est pas fini, il faut aller jusqu'à \(6\sqrt{2}\).
• Donner directement une valeur arrondie quand l'énoncé demande la valeur exacte.

Récapitulatif

• \(x^2 = a\) : deux solutions \(\pm\sqrt{a}\) si \(a > 0\), une solution \(0\) si \(a = 0\), aucune si \(a < 0\).
• Simplifier : sortir le plus grand carré parfait, \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\).
• Additionner seulement des radicaux de la même famille, après simplification.
• Dénominateur : multiplier par \(\sqrt{a}\), ou par l'expression conjuguée \(\sqrt{a} + b\).
• Longueur à partir d'une aire ou de Pythagore : prendre la racine carrée positive ; la diagonale d'un carré de côté \(c\) vaut \(c\sqrt{2}\).