Introduction

La racine carrée d’un nombre réel \(a \geq 0\) est le nombre positif dont le carré est égal à \(a\). On note cela \(\sqrt{a}\).

Propriétés fondamentales

1. Définition

   Pour tout nombre réel \(a \geq 0\), la racine carrée \(\sqrt{a}\) est le nombre positif tel que :

   \[ \sqrt{a} 	imes \sqrt{a} = a \]
   

2. Propriété 1 : Positivité

   Pour tout \(a \geq 0\), \(\sqrt{a} \geq 0\).

3. Propriété 2 : Produits

   Pour tous \(a, b \geq 0\),

   \[ \sqrt{a 	imes b} = \sqrt{a} 	imes \sqrt{b} \]
   

4. Propriété 3 : Quantités inférieures ou égales

   Si \(0 \leq a \leq b\), alors :

   \[ \sqrt{a} \leq \sqrt{b} \]
   

5. Propriété 4 : Caractère croissant

   La fonction \(f : a \mapsto \sqrt{a}\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\). Cela signifie que si \(a < b\), alors :

   \[ \sqrt{a} < \sqrt{b} \]
   

Applications pratiques

• Calculer une longueur à partir de son aire ou inversement.
• Résolution de certaines équations :

\[ x^2 = a \Rightarrow x = \pm \sqrt{a} \quad 	ext{(pour } a \geq 0 	ext{)} \]