Introduction

La racine carrée est une opération mathématique qui consiste à trouver un nombre qui, élevé au carré, donne un nombre donné. Par exemple, la racine carrée de 9 est 3, car \( 3^2 = 9 \).

Définition

Pour un nombre réel \(\ x \geq 0 \), la racine carrée de \(\ x \), notée \( \sqrt{x} \), est le nombre réel positif \(\ y \) tel que :

\[ y^2 = x \]

Propriétés fondamentales

1. Positivité : Pour tout \( x \geq 0 \), on a \( \sqrt{x} \geq 0 \).
2. Caractère unique : La racine carrée de \(\ x \) est unique et positive.
3. Produit : \(\ \sqrt{a imes b} = \sqrt{a} imes \sqrt{b} \), pour tous \( a \geq 0 \) et \( b \geq 0 \).
4. Quotient : \(\ \sqrt{rac{a}{b}} = rac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \), pour tous \( a \geq 0 \) et \( b > 0 \).
5. Puissance : \(\ (\sqrt{x})^n = x^{n/2} \), pour tout réel \( n \).

Exemples

• Calculons \( \sqrt{16} \). Comme \( 4^2 = 16 \), alors \( \sqrt{16} = 4 \).
• Évaluons \( \sqrt{25} \). Comme \( 5^2 = 25 \), alors \( \sqrt{25} = 5 \).
• Appliquons la propriété du produit : \( \sqrt{9 imes 16} = \sqrt{9} imes \sqrt{16} = 3 imes 4 = 12 \).