Racines, discriminant, somme et produit des racines

Pour résoudre \(ax^2+bx+c=0\), on calcule un seul nombre, le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) : son signe dit s'il y a 0, 1 ou 2 solutions, et la somme et le produit des racines se lisent directement sur les coefficients.

Objectifs

Reconnaître un trinôme du second degré et ses coefficients \(a\), \(b\), \(c\).
Calculer le discriminant et en déduire le nombre de racines.
Calculer les racines et factoriser le trinôme.
Utiliser la somme \(S\) et le produit \(P\) des racines (racine évidente, deux nombres de somme et produit donnés).

1. Le trinôme et ses racines

Notions clés

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) s'écrit

\[f(x)=ax^2+bx+c \quad \text{avec } a\neq 0.\]

Une racine de \(f\) est un nombre \(x_0\) tel que \(f(x_0)=0\). Graphiquement, c'est l'abscisse d'un point où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Fais bouger les curseurs : observe quand la parabole coupe l'axe des abscisses deux fois, une fois ou jamais.

Pour \(f(x)=-x^2+5x-4\), quels sont les coefficients ?

\(a=1\), \(b=5\), \(c=-4\)
\(a=-1\), \(b=5\), \(c=4\)
\(a=-1\), \(b=5\), \(c=-4\)

On lit les coefficients avec leur signe : devant \(x^2\) il y a \(-1\), devant \(x\) il y a \(5\), et le terme constant est \(-4\).

2. Le discriminant \(\Delta\)

Définition

Le discriminant du trinôme \(ax^2+bx+c\) est le nombre

\[\Delta=b^2-4ac.\]

D'où vient-il ? (forme canonique)

Étape 1 : on met \(a\) en facteur : \(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)\).

Étape 2 : on reconnaît le début d'un carré : \(x^2+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}\).

Étape 3 : on regroupe : \(ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\).

Étape 4 : un carré est toujours positif ou nul. Si \(\Delta<0\), le crochet est toujours strictement positif : pas de racine. Si \(\Delta\geq 0\), on peut écrire \(\dfrac{\Delta}{4a^2}=\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\) et factoriser une différence de deux carrés.

Le théorème à connaître

Si \(\Delta>0\) : deux racines distinctes \[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\] et \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Si \(\Delta=0\) : une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) et \(ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2\).
Si \(\Delta<0\) : aucune racine réelle ; le trinôme ne se factorise pas.

flowchart TD
A[Calculer Delta egal b2 moins 4ac] --> B{Signe de Delta}
B -->|positif| C[Deux racines x1 et x2]
B -->|nul| D[Une racine double]
B -->|negatif| E[Aucune racine reelle]
C --> F[Factorisation a fois x moins x1 fois x moins x2]
D --> G[Factorisation a fois x moins x0 au carre]

Exemples résolus

Exemple 1. Résoudre \(2x^2-3x-2=0\). Cherche d'abord, puis déroule.

Coefficients : \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\).

\(\Delta=(-3)^2-4\times 2\times(-2)=9+16=25>0\) : deux racines, et \(\sqrt{25}=5\).

\[x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}\qquad x_2=\frac{3+5}{4}=2\]

Factorisation : \(2x^2-3x-2=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x-2)=(2x+1)(x-2)\). Les solutions sont \(-\dfrac{1}{2}\) et \(2\).

Exemple 2. Résoudre \(x^2-6x+9=0\) puis \(x^2+x+1=0\).

Voir la solution

Pour \(x^2-6x+9\) : \(\Delta=(-6)^2-4\times1\times9=36-36=0\). Une racine double \(x_0=-\dfrac{-6}{2}=3\), et \(x^2-6x+9=(x-3)^2\).

Pour \(x^2+x+1\) : \(\Delta=1^2-4\times1\times1=-3<0\). Aucune solution réelle : la parabole reste au-dessus de l'axe des abscisses.

Combien de solutions a l'équation \(5x^2+2x+1=0\) ?

Deux
Aucune
Une seule

\(\Delta=2^2-4\times5\times1=4-20=-16<0\) : aucune racine réelle.

Si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, que peut-on dire de \(\Delta\) ?

\(\Delta>0\) : il y a toujours deux racines
\(\Delta<0\) : il n'y a jamais de racine
On ne peut rien dire

Si \(ac<0\), alors \(-4ac>0\), et comme \(b^2\geq 0\), on obtient \(\Delta=b^2-4ac>0\).

3. Somme et produit des racines

La propriété

Si \(\Delta\geq 0\) et si \(x_1\), \(x_2\) sont les racines de \(ax^2+bx+c\) (égales si \(\Delta=0\)), alors

\[S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\qquad P=x_1\times x_2=\frac{c}{a}.\]

Voir la démonstration

\(x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}\).

\(x_1x_2=\dfrac{(-b)^2-\left(\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2}=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}\).

Deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\)

Deux nombres ont pour somme \(S\) et pour produit \(P\) si et seulement s'ils sont les solutions de

\[X^2-SX+P=0.\]

Exemples résolus

Exemple 3. Résoudre \(3x^2-5x+2=0\) sans calculer \(\Delta\).

Voir la solution

\(a+b+c=3-5+2=0\), donc \(x_1=1\) est racine. Le produit vaut \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\), donc \(x_2=\dfrac{2}{3}\). Vérification par la somme : \(1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}=-\dfrac{-5}{3}\). Correct.

Exemple 4. Le champ de Moussa : longueur et largeur de somme 17 m et de produit 60 m².

Les dimensions sont les solutions de \(X^2-17X+60=0\).

\(\Delta=(-17)^2-4\times1\times60=289-240=49\), et \(\sqrt{49}=7\).

\[X_1=\frac{17-7}{2}=5\qquad X_2=\frac{17+7}{2}=12\]

Le champ mesure 12 m sur 5 m. Vérification : \(12+5=17\) et \(12\times5=60\).

Les racines de \(2x^2+8x-5\) existent. Quelle est leur somme ?

\(8\)
\(-\dfrac{5}{2}\)
\(-4\)

\(S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{8}{2}=-4\). (Le produit, lui, vaut \(\dfrac{c}{a}=-\dfrac{5}{2}\).)

Sachant que \(1\) est racine de \(x^2-4x+3\), quelle est l'autre racine ?

\(-3\)
\(3\)
\(4\)

Le produit des racines vaut \(\dfrac{c}{a}=3\), donc l'autre racine est \(3\div 1=3\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

\(\Delta=b^2-4ac\) : son signe donne le nombre de racines (2, 1 ou 0).
\(\Delta>0\) : \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) ; \(\Delta=0\) : \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\).
Factorisation : \(a(x-x_1)(x-x_2)\) ou \(a(x-x_0)^2\).
\(S=-\dfrac{b}{a}\), \(P=\dfrac{c}{a}\) ; deux nombres de somme \(S\) et produit \(P\) sont solutions de \(X^2-SX+P=0\).

Discriminant

\(\Delta=b^2-4ac\)

Racines si \(\Delta>0\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Racine double

Si \(\Delta=0\) : \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\)

Somme et produit

\(S=-\dfrac{b}{a}\) et \(P=\dfrac{c}{a}\)

Racine évidente

Si \(a+b+c=0\), 1 est racine et l'autre vaut \(\dfrac{c}{a}\)