Racines et factorisation des polynômes

Découvrir comment trouver et utiliser les racines pour simplifier les polynômes.

Objectifs

Racine : valeur de \(x\) telle que le polynôme s'annule, c’est-à-dire que \(P(x)=0\).
Factorisation : écrire un polynôme sous forme d’un produit de facteurs. Par exemple, \(\text{si } P(x)=x^2 - 4\), alors \(P(x)=(x-2)(x+2)\).
Relation entre racines et facteurs : si une racine est \(r\), alors \(\)(x - r) est un facteur de \(P(x)\).

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Chercher deux nombres dont la somme est \(-5\) et le produit est \(6\). Ces nombres sont \(-2\) et \(-3\).

On peut écrire \(P(x)\) sous forme factorisée : \(P(x)=(x - r_1)(x - r_2)\).

Donc \(P(x)=(x - 2)(x - 3)\).

Les racines sont donc \(x=2\) et \(x=3\).

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Chercher une racine évidente : en testant \(x=1\), \(Q(1)=1-6+11-6=0\). Donc, \(x=1\) est une racine.

Diviser \(Q(x)\) par \((x-1)\) pour obtenir le quotient : \(Q(x)=(x-1) \times R(x)\).

Utiliser la division synthétique ou longue pour trouver \(R(x) = x^2 - 5x + 6\).

Factoriser le trinôme \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).

Conclusion : \(Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\).

Confondre racine et facteur (racine est une valeur, facteur est une expression).
Ne pas vérifier si \(P(r)=0\) avant de conclure que \(r\) est une racine.
Oublier de diviser le polynôme pour trouver ses autres racines après une racine évidente.
Se tromper dans la multiplication ou la factorisation.

Une racine est une solution d’une équation \(P(x)=0\).
Chaque racine correspond à un facteur \((x - r)\).
Factoriser un polynôme consiste à écrire le polynôme comme un produit de facteurs, en utilisant ses racines.

Racine

Solution de \(P(x)=0\)

Factorisation

Expression du polynôme comme produit de facteurs

Relation

Racine \(r\) implique un facteur \((x - r)\)