Notions et raisonnements logiques en mathématiques - Niveau 2nde

Raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde

Introduction

En mathématiques, certains problèmes ou démonstrations nécessitent d’utiliser des raisonnements spécifiques. Deux méthodes essentielles sont le raisonnement par disjonction de cas et le raisonnement par l’absurde.

1. Raisonnement par disjonction de cas

Cette méthode consiste à diviser le problème en plusieurs cas possibles et à traiter chaque cas séparément. La conclusion est alors valable si tous les cas ont été épuisés.

Principe général

• Supposer que la donnée peut prendre différentes valeurs ou appartenir à différents ensembles.
• Traiter chaque cas indépendamment en démontrant la propriété dans chacun d’eux.
• En concluant que la propriété est vraie dans tous les cas, donc globalement.

Exemple

On souhaite démontrer que pour tout entier naturel \( n \), \( n^2 \) est pair si et seulement si \( n \) est pair.

• Cas 1 : \( n \) est pair, c’est-à-dire \( n=2k \) avec \( k \in \mathbb{N} \).
  \( n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \), donc \( n^2 \) est pair.
• Cas 2 : \( n \) est impair, c’est-à-dire \( n=2k+1 \).
  \( n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \), donc \( n^2 \) est impair.

Dans ce cas, on a divisé en deux cas (pair ou impair), ce qui permet de conclure que la propriété est vraie dans tous les cas.

2. Raisonnement par l’absurde

Ce raisonnement consiste à supposer que la proposition à démontrer est fausse puis à en montrer qu’elle conduit à une contradiction. La conclusion est que la proposition est donc vraie.

Principe général

• Supposer que la propriété à démontrer est fausse.
• En déduire une contradiction avec une propriété connue ou un résultat déjà démontré.
• En conclure que la propriété est vraie.

Exemple

Démontrer que :
« \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel ».

Supposons le contraire : \(\sqrt{2}\) est rationnel, donc il existe deux entiers \( a \) et \( b \) (avec \( b eq 0 \)), premiers entre eux, tels que : \[ \sqrt{2} = rac{a}{b} \] En élevant au carré : \[ 2 = rac{a^2}{b^2} \;\Rightarrow\; a^2 = 2b^2 \] Cela implique que \( a^2 \) est pair, donc \( a \) est pair. Comme \( a \) est pair, on peut écrire \( a=2k \) avec \( k \in \mathbb{Z} \). Remplaçons dans l’équation : \[ (2k)^2 = 2b^2 \;\Rightarrow\; 4k^2 = 2b^2 \;\Rightarrow\; 2k^2 = b^2 \] Ainsi, \( b^2 \) est aussi pair, donc \( b \) est pair. Or, cela signifie que \( a \) et \( b \) sont tous deux pairs, ce qui contredit l’hypothèse qu’ils soient premiers entre eux. La supposition est donc fausse. Conclusion : \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel.

Conclusion

Les raisonnements par disjonction de cas et par l’absurde sont fondamentaux en mathématiques pour établir des démonstrations rigoureuses. Ils permettent d’analyser toutes les situations possibles ou de prouver l’impossibilité d’une situation, ce qui est essentiel en résolution de problèmes.