Raisonnement par disjonction de cas et raisonnement par l'absurde

Disjonction de cas : on découpe le problème en morceaux qui couvrent toutes les possibilités et on traite chacun ; absurde : on suppose le contraire de ce qu'on veut prouver et on montre que cela mène à une impossibilité.

Objectifs

Savoir mener un raisonnement par disjonction de cas (pair ou impair, positif ou négatif…).
Savoir mener un raisonnement par l'absurde et rédiger sa conclusion.
Choisir le bon type de raisonnement selon la situation.

1. Le raisonnement par disjonction de cas

Découpages classiques :

un entier \( n \) est pair (\( n = 2k \)) ou impair (\( n = 2k + 1 \)), avec \( k \) entier ;
un réel \( x \) vérifie \( x \geq 0 \) ou \( x < 0 \) ;
un réel \( x \) vérifie \( x \geq a \) ou \( x < a \) (utile avec les valeurs absolues).

Exemple résolu 1

Démontrer que, pour tout entier naturel \( n \), le nombre \( n(n + 1) \) est pair.

Les cas : tout entier \( n \) est pair ou impair. Ces deux cas couvrent toutes les possibilités.

Cas 1 : \( n \) pair. Alors \( n = 2k \) et \( n(n + 1) = 2k(2k + 1) = 2 \times \big(k(2k+1)\big) \) : c'est un multiple de 2, donc pair.

Cas 2 : \( n \) impair. Alors \( n = 2k + 1 \), donc \( n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) \) et \( n(n + 1) = 2 \times \big((2k+1)(k+1)\big) \) : pair.

Conclusion : dans les deux cas \( n(n + 1) \) est pair, donc il est pair pour tout entier naturel \( n \). (Analogie : de deux entiers qui se suivent, l'un est toujours pair.)

Exemple résolu 2 : équation avec valeur absolue

Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( |x - 3| = 5 \).

Cas 1 : \( x \geq 3 \). Alors \( x - 3 \geq 0 \) et \( |x - 3| = x - 3 \). L'équation devient \( x - 3 = 5 \), soit \( x = 8 \), qui vérifie bien \( 8 \geq 3 \).

Cas 2 : \( x < 3 \). Alors \( |x - 3| = 3 - x \). L'équation devient \( 3 - x = 5 \), soit \( x = -2 \), qui vérifie bien \( -2 < 3 \).

Conclusion : \( S = \{-2\,;8\} \). Interprétation : ce sont les deux nombres situés à une distance 5 de 3 sur la droite graduée.

Vérifie sur le graphique : la courbe de \( y = |x - c| \) et la droite horizontale \( y = k \). Avec \( c = 3 \) et \( k = 5 \), elles se coupent en \( x = -2 \) et \( x = 8 \). Que se passe-t-il si \( k \) devient négatif ?

Exercice : démontre que pour tout entier \( n \), le nombre \( n^2 + 3n \) est pair.

Voir la solution

On écrit \( n^2 + 3n = n(n + 3) \).

Cas 1 : \( n \) pair, donc \( n = 2k \) et \( n(n+3) = 2 \times \big(k(2k+3)\big) \) est pair.

Cas 2 : \( n \) impair, donc \( n = 2k + 1 \) et \( n + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \) ; ainsi \( n(n+3) = 2 \times \big((2k+1)(k+2)\big) \) est pair.

Dans les deux cas \( n^2 + 3n \) est pair.

Pour prouver une propriété de tous les réels \( x \), Kofi traite seulement le cas \( x > 0 \) et le cas \( x < 0 \). Que manque-t-il ?

Rien, c'est complet
Le cas \( x > 1 \)
Le cas \( x = 0 \)

Les cas \( x > 0 \) et \( x < 0 \) oublient \( x = 0 \). Il faut traiter \( x \geq 0 \) et \( x < 0 \), ou ajouter le cas \( x = 0 \).

2. Le raisonnement par l'absurde

flowchart LR
  A[On veut prouver P] --> B[On suppose P fausse]
  B --> C[Deductions correctes]
  C --> D[Contradiction]
  D --> E[Donc P est vraie]

Exemple résolu 1 : il n'existe pas de plus grand entier naturel

On suppose le contraire : il existe un plus grand entier naturel, notons-le \( N \).

Alors \( N + 1 \) est aussi un entier naturel, et \( N + 1 > N \).

Contradiction : on a trouvé un entier plus grand que le plus grand.

Conclusion : la supposition est fausse, il n'existe pas de plus grand entier naturel.

Exemple résolu 2 : si \( n^2 \) est pair, alors \( n \) est pair

Soit \( n \) un entier tel que \( n^2 \) est pair. On suppose par l'absurde que \( n \) est impair : \( n = 2k + 1 \).

Alors \( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \) : \( n^2 \) est impair.

Contradiction avec l'hypothèse « \( n^2 \) est pair ». Donc \( n \) est pair.

Exemple résolu 3 : \( \sqrt{2} \) n'est pas un nombre rationnel

Essaie de suivre la démonstration étape par étape avant de la dévoiler entièrement.

On suppose le contraire : \( \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} \) avec \( p \) et \( q \) entiers naturels non nuls, et la fraction irréductible (on l'a simplifiée au maximum : \( p \) et \( q \) ne sont pas tous les deux pairs).

En élevant au carré : \( 2 = \dfrac{p^2}{q^2} \), donc \( p^2 = 2q^2 \). Ainsi \( p^2 \) est pair, donc \( p \) est pair (exemple 2) : \( p = 2m \).

On remplace : \( (2m)^2 = 2q^2 \), soit \( 4m^2 = 2q^2 \), donc \( q^2 = 2m^2 \). Ainsi \( q^2 \) est pair, donc \( q \) est pair.

Contradiction : \( p \) et \( q \) sont tous les deux pairs, alors que la fraction était irréductible.

Conclusion : \( \sqrt{2} \) n'est pas rationnel.

Exercice : démontre par l'absurde que l'équation \( x^2 + 1 = 0 \) n'a pas de solution réelle.

Voir la solution

On suppose qu'il existe un réel \( x \) tel que \( x^2 + 1 = 0 \). Alors \( x^2 = -1 \). Or un carré est toujours positif ou nul : \( x^2 \geq 0 \), donc \( x^2 \neq -1 \). Contradiction. L'équation n'a donc pas de solution réelle.

Pour démontrer par l'absurde que « \( \sqrt{3} \) est irrationnel », on commence par supposer que :

\( \sqrt{3} \) est irrationnel
\( \sqrt{3} \) est rationnel
\( \sqrt{3} \) est un entier pair

On suppose le contraire de ce qu'on veut prouver : \( \sqrt{3} \) est rationnel, puis on cherche une contradiction.

Quel raisonnement est le plus adapté pour prouver que « pour tout entier \( n \), \( n^2 - n \) est pair » ?

La disjonction de cas (n pair ou n impair)
L'absurde en supposant \( n = 0 \)
Un seul exemple, avec \( n = 3 \)

On traite \( n \) pair puis \( n \) impair : \( n^2 - n = n(n - 1) \) est le produit de deux entiers consécutifs, pair dans chaque cas. Un exemple ne prouve jamais une propriété « pour tout ».

Erreurs fréquentes

Disjonction de cas : oublier un cas, ou des cas qui ne couvrent pas tout.
Disjonction de cas : garder une solution qui ne respecte pas la condition de son cas.
Absurde : mal écrire la négation de la proposition.
Absurde : oublier d'écrire la conclusion (« la supposition est fausse, donc… »).
Croire qu'un exemple démontre une propriété générale : un exemple ne sert qu'à illustrer, ou à montrer qu'une propriété est fausse (contre-exemple).

Récapitulatif

Disjonction de cas : on découpe en cas couvrant toutes les possibilités, on démontre dans chacun, on conclut pour tous.
Absurde : on suppose le contraire, on déduit correctement, on obtient une contradiction, on conclut que la proposition est vraie.
Résultats à connaître : \( n(n+1) \) est pair ; si \( n^2 \) est pair alors \( n \) est pair ; \( \sqrt{2} \) est irrationnel.

Disjonction de cas

Séparer en cas qui couvrent toutes les possibilités et démontrer la propriété dans chacun.

Raisonnement par l'absurde

Supposer le contraire et aboutir à une contradiction.

Entier pair, entier impair

Pair : \( n = 2k \) ; impair : \( n = 2k + 1 \), avec \( k \) entier.

Contradiction

Résultat impossible ou contraire à une hypothèse ; elle prouve que la supposition était fausse.

\( \sqrt{2} \)

Nombre irrationnel : il ne s'écrit pas comme une fraction d'entiers (preuve par l'absurde).