Introduction

Une suite décimale est une représentation d'un nombre en notation décimale. Lorsqu'une suite décimale continue indéfiniment sans se répéter, elle est dite illimitée et non périodique.

Objectif

Nous allons apprendre comment réaliser et écrire une suite décimale illimitée à partir d'un nombre ou d'une règle.

Étape 1 : Choisir un nombre de départ

Commencez par déterminer un nombre décimal de base, par exemple :

• Un nombre rationnel comme \( 0,3 \) ou \( 0,75 \)
• Plus complexe, comme \( 0,142857 \)

Étape 2 : Définir la règle pour la suite

Pour réaliser une suite décimale, il faut définir comment chaque terme va évoluer ou quelles valeurs il va prendre :

• Par exemple, une suite où chaque terme est la somme du précédent avec une fraction : \( u_{n+1} = u_{n} + rac{1}{10^{n}} \).
• Ou une suite qui ajoute un chiffre décimal chaque fois pour obtenir une expansion longue : 0, 1, 0, 11, 0, 111, etc.

Étape 3 : Construire la suite pas à pas

Commencez par le premier terme \( u_0 \), puis utilisez la règle définie pour trouver \( u_1, u_2, u_3, \dots \)

Par exemple, si la règle est d’ajouter un 1 à chaque étape :

• Termes : \( u_0 = 0, \quad u_1 = 0,1, \quad u_2=0,11, \quad u_3=0,111, \dots \)

Étape 4 : Noter la suite en notation décimale illimitée

Votre suite peut s’écrire sous la forme :

\( 0,1, 0,11, 0,111, \dots \)

qui se traduit par une écriture décimale illimitée :
\( 0,\overbrace{1 1 1 \dots}^\infty \).

Résumé

Pour réaliser une suite décimale illimitée :

• Choisissez un nombre de départ.
• Définissez une règle pour faire évoluer chaque terme.
• Calculez les termes un par un en suivant cette règle.
• Notez la suite en notation décimale avec un dénominateur infini.