Pour prouver un parallélisme, les rapports égaux doivent accompagner des alignements dans un ordre cohérent.

Réciproque de Thalès et vérification

Objectifs

Énoncer les hypothèses de la réciproque.
Comparer des rapports sans arrondir.
Reconnaître un contre-exemple.

Prouver un parallélisme

Dans un triangle non aplati \(ABC\), avec \(M\) et \(N\) distincts de \(A\), supposons \(A,M,B\) alignés et \(A,N,C\) alignés dans le même ordre. Si

\[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC},\]

alors la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure \((MN)\parallel(BC)\). Il faut vérifier les alignements et l’ordre, pas seulement les calculs.

M est placé sur le côté AB et N sur le côté AC, dans un ordre cohérent à partir de A.

Le segment MN est parallèle à BC. Cette information est une hypothèse ; un dessin seul ne la prouve pas.

Pour utiliser la réciproque, que doit-on déjà connaître ?

Le parallélisme recherché
Les alignements, l’ordre cohérent et l’égalité des rapports
Seulement la forme du dessin

La réciproque transforme ces informations en une preuve de parallélisme.

Comparer les rapports exactement

On sait \(M\in[AB]\), \(N\in[AC]\), \(AB=6\,\mathrm{cm}\), \(AM=3\,\mathrm{cm}\), \(AC=10\,\mathrm{cm}\), \(AN=5\,\mathrm{cm}\). Peut-on conclure au parallélisme ?

Voir la solution après avoir cherché

Les deux alignements sont vérifiés dans le même ordre.

\(\frac{AM}{AB}=\frac36=\frac12\) et \(\frac{AN}{AC}=\frac5{10}=\frac12\).

Les rapports sont exactement égaux. Par la réciproque de Thalès, \((MN)\parallel(BC)\).

Si, avec les mêmes alignements, on avait \(AN=5{,}1\,\mathrm{cm}\), quelle conclusion serait possible ?

Voir la solution après avoir cherché

\(\frac{AM}{AB}=0{,}5\), mais \(\frac{AN}{AC}=0{,}51\).

Si les droites étaient parallèles, Thalès imposerait des rapports égaux.

Les rapports étant différents, les droites ne sont pas parallèles dans ce modèle exact.

Quel procédé évite des arrondis inutiles ?

Comparer les fractions exactes ou les produits en croix
Arrondir tous les rapports à l’unité
Retenir seulement la première mesure

Des arrondis peuvent faire apparaître une égalité qui n’existe pas.

Comprendre pourquoi l’ordre compte

Contre-exemple construit : \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(0,4)\), \(M(2,0)\), \(N(0,-2)\). Les longueurs donnent \(AM/AB=AN/AC=1/2\). Pourtant \(N\) est de l’autre côté de \(A\) par rapport à \(C\), contrairement à \(M\) et \(B\).

Pourquoi ne peut-on pas conclure au parallélisme ?

Voir la solution après avoir cherché

L’ordre \(A,M,B\) ne correspond pas à l’ordre \(N,A,C\).

La droite \((BC)\) descend quand on va de gauche à droite, tandis que \((MN)\) monte ; elles ne sont pas parallèles.

Les hypothèses de la réciproque sont donc indispensables ; les seuls rapports de longueurs non orientées ne suffisent pas.

Deux rapports égaux suffisent-ils sans vérifier les positions ?

Le contre-exemple donne des rapports égaux mais pas de parallélisme.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Vérifier les positions et les rapports permet de rédiger une preuve de parallélisme, ou de comprendre pourquoi elle est impossible.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Réciproque

Égalité des rapports et positions adaptées impliquent le parallélisme.

Ordre des points

Les placements doivent se correspondre sur les deux droites sécantes.

Exactitude

Comparer fractions ou produits sans arrondis prématurés.

Contraposée

Des rapports différents excluent le parallélisme sous les alignements adaptés.