Construire et lire le carré magique pas à pas : une méthode pour mesurer les arbitrages de 2019 à 2024

Économie et Gestion · Licence — Chapitre : Rééquilibrage des objectifs macroéconomiques.

Plutôt que de répondre tout de suite à la question « le carré magique est-il mort depuis le Covid et la guerre en Ukraine ? », ce cours te donne une méthode en six étapes pour la trancher toi-même : choisir les indicateurs, les normaliser, tracer le carré, calculer sa surface, reconnaître la nature d’un choc, puis hiérarchiser les objectifs avec une fonction de perte et la règle de Tinbergen. Chaque étape est appliquée à une économie fictive de la zone UEMOA, appelée ici « le pays K », dont les chiffres sont inventés pour l’exercice.

Objectifs du cours

Définir avec précision les quatre indicateurs du carré magique de Nicholas Kaldor et leurs cibles.
Normaliser des indicateurs hétérogènes pour les rendre comparables, et calculer la surface du carré.
Distinguer un choc de demande d’un choc d’offre à partir de la déformation du carré.
Utiliser une fonction de perte pondérée pour expliquer pourquoi la priorité a basculé vers l’inflation en 2022.
Appliquer la règle de Tinbergen : autant d’instruments indépendants que d’objectifs.
Construire un avis argumenté et nuancé sur la pertinence du carré magique après 2020.

Notions clés

Carré magique: Représentation proposée par l’économiste Nicholas Kaldor : quatre objectifs (croissance, plein emploi, stabilité des prix, équilibre extérieur) placés sur quatre demi-axes. Il est dit « magique » parce qu’aucune économie n’atteint durablement les quatre cibles à la fois.
Normalisation: Transformation d’un indicateur en un score compris entre 0 (situation jugée la pire) et 1 (cible atteinte), pour comparer des grandeurs qui n’ont pas la même unité ni le même sens.
Choc de demande / choc d’offre: Un choc de demande fait varier la production et les prix dans le même sens ; un choc d’offre les fait varier en sens contraires. C’est le second qui crée un dilemme pour la politique économique.
Fonction de perte: Mesure du « coût social » des écarts aux cibles, pondérés selon les priorités du décideur. Plus la perte est faible, meilleure est la situation.
Règle de Tinbergen: Pour atteindre \(n\) objectifs indépendants, il faut au moins \(n\) instruments indépendants (Jan Tinbergen, prix Nobel d’économie 1969).

La méthode en six étapes

Étape 1 — Définir les indicateurs et leurs cibles

Un carré magique n’a de sens que si chaque sommet est défini sans ambiguïté :

Croissance : taux de variation annuel du PIB réel (en volume), en %.
Plein emploi : taux de chômage au sens du BIT, en % de la population active. En Afrique de l’Ouest, où l’emploi informel est très répandu, ce taux mesure mal la situation réelle : il faut le compléter par le sous-emploi (temps partiel subi, revenus insuffisants).
Stabilité des prix : glissement annuel ou moyenne annuelle de l’indice des prix à la consommation (IPC). Dans l’UEMOA, la BCEAO définit la stabilité des prix comme une inflation comprise dans une marge de plus ou moins 1 point autour de 2 %, soit entre 1 % et 3 %.
Équilibre extérieur : solde des transactions courantes rapporté au PIB, en %.

Attention au sens : plus de croissance est « mieux », mais plus de chômage est « pire ». Pour l’inflation, ni 0 % ni une forte hausse ne sont souhaitables : l’objectif est une cible, pas un minimum.

Étape 2 — Normaliser chaque indicateur

On choisit pour chaque indicateur une borne « pire » et une borne « meilleure », puis on calcule un score borné entre 0 et 1. Pour le pays K, on retient les conventions suivantes (ce sont des choix de l’analyste, à annoncer clairement) :

\[ \begin{align} s_g &= \frac{g}{6} &&\text{(croissance de 0 \% à 6 \%)}\\ s_u &= \frac{12-u}{9} &&\text{(chômage de 12 \% à 3 \%)}\\ s_\pi &= 1-\frac{|\pi-2|}{8} &&\text{(écart à la cible de 2 \%)}\\ s_x &= \frac{x+10}{10} &&\text{(solde courant de } -10 \text{ \% à } 0 \text{ \% du PIB)} \end{align} \]

Chaque score est ramené à 0 s’il est négatif et à 1 s’il dépasse 1.

Étape 3 — Tracer le carré

On place chaque score sur un demi-axe : croissance en haut, stabilité des prix à droite, emploi en bas, équilibre extérieur à gauche. Un score de 1 correspond au bout de l’axe. On relie les quatre points : plus le quadrilatère est grand, plus l’économie est proche de ses quatre cibles.

Pays K (données fictives). Un score de 1 est placé à 100 unités du centre.

Étape 4 — Calculer la surface

Les quatre sommets sont sur deux axes perpendiculaires. Si \(a\) et \(c\) sont les scores placés sur l’axe vertical (croissance, emploi) et \(b\) et \(d\) ceux de l’axe horizontal (prix, extérieur), le quadrilatère se découpe en quatre triangles rectangles :

\[ S=\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{cd}{2}+\frac{da}{2}=\frac{(a+c)(b+d)}{2} \]

Le carré idéal (tous les scores à 1) a une surface \(S_{\max}=\frac{(1+1)(1+1)}{2}=2\). On peut donc exprimer un taux de réalisation \(\frac{S}{2}\) en %.

Étape 5 — Lire la déformation : quel type de choc ?

La surface résume, mais c’est la forme qui renseigne :

Choc de demande négatif (confinements de 2020, chute des dépenses) : la croissance baisse, le chômage monte, et l’inflation a tendance à reculer. Les sommets « croissance » et « emploi » se rapprochent du centre ; le sommet « prix » bouge peu. Une relance monétaire et budgétaire améliore alors tous les sommets en même temps : pas de dilemme.
Choc d’offre négatif (flambée de l’énergie et des céréales en 2022, ruptures d’approvisionnement) : les prix montent pendant que la production ralentit. Le sommet « prix » s’effondre ; pour un pays importateur d’énergie, le sommet « extérieur » aussi, car la facture d’importation gonfle. Ici, freiner l’inflation coûte de la croissance : dilemme.

Les deux chocs successifs n’appellent donc pas la même réponse. Aux États-Unis, le taux de chômage a atteint 14,7 % en avril 2020, puis est descendu à 3,4 % en janvier 2023, alors que l’inflation sur un an avait culminé à 9,1 % en juin 2022 (Bureau of Labor Statistics). Dans la zone euro, l’inflation a culminé à 10,6 % en octobre 2022 (Eurostat). Le sommet « emploi » s’est redressé pendant que le sommet « prix » s’effondrait : la forme du carré a changé, pas seulement sa taille.

Étape 6 — Hiérarchiser : fonction de perte et règle de Tinbergen

Quand tous les objectifs ne peuvent pas être atteints, le décideur arbitre. On formalise cet arbitrage par une fonction de perte quadratique :

\[ L = w_\pi\,(\pi-\pi^*)^2 + w_u\,(u-u^*)^2 \]

où \(\pi^*\) est la cible d’inflation, \(u^*\) le chômage jugé « normal », et \(w_\pi\), \(w_u\) les poids accordés à chaque objectif. Le carré au sens strict suppose implicitement des poids égaux et constants. Le « rééquilibrage » observé après 2021 peut se lire comme un changement de poids : quand l’inflation s’éloigne beaucoup de sa cible, le terme au carré grossit très vite et domine la perte, même avec un poids modeste.

La règle de Tinbergen ajoute une contrainte : avec seulement deux grands instruments (le taux directeur et le solde budgétaire), on ne peut viser précisément que deux objectifs. Les autres deviennent des résultats subis. D’où le recours, après 2020, à des instruments supplémentaires et ciblés : aides aux entreprises, transferts aux ménages vulnérables, mesures sur les prix de certains produits. Chacun ajoute un « levier » mais pèse sur les finances publiques, qui deviennent à leur tour une contrainte.

Exemples résolus

Exemple 1 — Le carré du pays K en 2019, 2020 et 2022

Énoncé. Données fictives du pays K :

Année	Croissance \(g\)	Chômage \(u\)	Inflation \(\pi\)	Solde courant \(x\)
2019	6,0 %	7,5 %	1,0 %	−5 % du PIB
2020	1,5 %	8,4 %	2,0 %	−6 % du PIB
2022	5,4 %	7,2 %	7,0 %	−8 % du PIB

Calcule les quatre scores et la surface du carré pour chaque année.

Solution. Pour 2019 :

\[ \begin{align} s_g &= \tfrac{6{,}0}{6}=1 \qquad s_u=\tfrac{12-7{,}5}{9}=0{,}5\\ s_\pi &= 1-\tfrac{|1-2|}{8}=0{,}875 \qquad s_x=\tfrac{-5+10}{10}=0{,}5\\ S_{2019} &= \tfrac{(1+0{,}5)(0{,}875+0{,}5)}{2}=\tfrac{1{,}5\times 1{,}375}{2}\approx 1{,}03 \end{align} \]

Pour 2020 :

\[ \begin{align} s_g &= \tfrac{1{,}5}{6}=0{,}25 \qquad s_u=\tfrac{12-8{,}4}{9}=0{,}4 \qquad s_\pi=1 \qquad s_x=\tfrac{-6+10}{10}=0{,}4\\ S_{2020} &= \tfrac{(0{,}25+0{,}4)(1+0{,}4)}{2}=\tfrac{0{,}65\times 1{,}4}{2}\approx 0{,}46 \end{align} \]

Pour 2022 :

\[ \begin{align} s_g &= \tfrac{5{,}4}{6}=0{,}9 \qquad s_u=\tfrac{12-7{,}2}{9}\approx 0{,}533\\ s_\pi &= 1-\tfrac{|7-2|}{8}=0{,}375 \qquad s_x=\tfrac{-8+10}{10}=0{,}2\\ S_{2022} &= \tfrac{(0{,}9+0{,}533)(0{,}375+0{,}2)}{2}\approx\tfrac{1{,}433\times 0{,}575}{2}\approx 0{,}41 \end{align} \]

Interprétation. Le taux de réalisation passe d’environ 52 % (2019) à 23 % (2020) puis 21 % (2022). La croissance de 2022 est presque revenue à son niveau de 2019, mais la surface est encore plus petite qu’en 2020 : la dégradation s’est déplacée de l’axe vertical (activité, emploi) vers l’axe horizontal (prix, extérieur). C’est la signature d’un choc d’offre importé.

Exemple 2 — Pourquoi la priorité bascule vers l’inflation

Énoncé. En 2022, la banque centrale du pays K hésite entre deux options (résultats attendus fictifs), avec \(\pi^*=2\) et \(u^*=7\) :

Option A, resserrement : \(\pi=4\) %, \(u=7{,}8\) %.
Option B, statu quo : \(\pi=6\) %, \(u=7{,}2\) %.

Compare les pertes avec \(w_\pi=w_u=1\), puis cherche le poids \(w_\pi\) (avec \(w_u=1\)) qui rend les deux options équivalentes.

Solution.

\[ \begin{align} L_A &= 1\times(4-2)^2+1\times(7{,}8-7)^2=4+0{,}64=4{,}64\\ L_B &= 1\times(6-2)^2+1\times(7{,}2-7)^2=16+0{,}04=16{,}04 \end{align} \]

L’option A l’emporte nettement. Seuil d’indifférence :

\[ 4\,w_\pi+0{,}64=16\,w_\pi+0{,}04 \iff 12\,w_\pi=0{,}6 \iff w_\pi=0{,}05 \]

Interprétation. Il faudrait accorder à l’inflation un poids vingt fois plus faible qu’au chômage pour préférer le statu quo. Parce que la perte est quadratique, un grand écart d’inflation pèse beaucoup plus lourd que plusieurs petits écarts : c’est une explication formelle du « rééquilibrage » vers la stabilité des prix, sans supposer que les décideurs ont abandonné l’emploi.

Exemple 3 — La règle de Tinbergen en action

Énoncé. Dans un modèle simplifié du pays K, une hausse \(\Delta i\) du taux directeur et une hausse \(\Delta b\) du déficit budgétaire (en points de PIB) agissent ainsi (coefficients fictifs) :

\[ \begin{align} \Delta g &= -0{,}5\,\Delta i + 0{,}5\,\Delta b\\ \Delta \pi &= -0{,}5\,\Delta i + 0{,}1\,\Delta b\\ \Delta x &= 0{,}1\,\Delta i - 0{,}3\,\Delta b \end{align} \]

Le gouvernement et la banque centrale veulent réduire l’inflation d’un point (\(\Delta\pi=-1\)) sans toucher à la croissance (\(\Delta g=0\)). Trouve \(\Delta i\) et \(\Delta b\), puis l’effet sur le solde courant.

Solution. De \(\Delta g=0\) : \(0{,}5\,\Delta i=0{,}5\,\Delta b\), donc \(\Delta i=\Delta b\). On remplace dans l’équation des prix :

\[ -0{,}5\,\Delta b+0{,}1\,\Delta b=-0{,}4\,\Delta b=-1 \iff \Delta b=2{,}5 \quad\text{et}\quad \Delta i=2{,}5 \]

Vérification : \(\Delta g=-1{,}25+1{,}25=0\) et \(\Delta\pi=-1{,}25+0{,}25=-1\). Effet sur le solde courant :

\[ \Delta x = 0{,}1\times 2{,}5-0{,}3\times 2{,}5=0{,}25-0{,}75=-0{,}5 \]

Interprétation. Deux instruments permettent d’atteindre exactement deux objectifs, mais le troisième (équilibre extérieur) se dégrade d’un demi-point, et le déficit public augmente de 2,5 points. Pour viser aussi le solde extérieur, il faudrait un troisième instrument indépendant (par exemple une politique ciblée sur les importations d’énergie ou sur l’investissement dans la production locale).

Exemple 4 — Reconnaître un choc à partir de deux observations

Énoncé. D’une année à l’autre, on observe dans deux pays fictifs : pays M, croissance de 5 % à 2 % et inflation de 3 % à 1 % ; pays N, croissance de 5 % à 3 % et inflation de 2 % à 8 %. Quel type de choc domine dans chacun, et quelle politique crée un dilemme ?

Solution. Pays M : croissance et inflation baissent ensemble, donc choc de demande négatif ; une politique de relance améliore les deux sommets à la fois. Pays N : la croissance baisse pendant que l’inflation monte, donc choc d’offre négatif ; une relance soutiendrait l’activité mais aggraverait l’inflation, un resserrement ferait l’inverse : c’est le pays N qui fait face au dilemme.

Alors, le carré magique est-il mort ?

La méthode permet de séparer deux questions souvent confondues :

Comme outil de description, le carré reste utile : l’exemple 1 montre qu’il distingue clairement le choc de 2020 de celui de 2022, à condition d’annoncer ses conventions de normalisation.
Comme promesse d’atteindre les quatre objectifs ensemble, il n’a jamais été réalisable durablement ; les chocs de 2020 à 2022 ont seulement rendu les arbitrages plus visibles.
Comme liste complète des objectifs, il est discuté : de nombreux analystes ajoutent la soutenabilité de la dette publique, la stabilité financière, la sécurité énergétique et alimentaire ou la transition écologique, ce qui conduit à parler de « pentagone » ou d’« hexagone » des objectifs.

Une réponse argumentée de niveau Licence ne tranche donc pas par oui ou par non : elle précise de quel usage du carré on parle.

Erreurs fréquentes

Comparer des surfaces calculées avec des bornes différentes. La surface dépend entièrement des conventions de l’étape 2 : changer la borne de croissance de 6 % à 8 % change tous les résultats. On ne compare que des carrés construits avec les mêmes règles.
Traiter l’inflation comme « moins c’est mieux ». Une inflation nulle ou négative n’est pas l’objectif : la cible est une hausse modérée et stable des prix (entre 1 % et 3 % pour la BCEAO).
Croire que tout recul de la croissance appelle une relance. Face à un choc d’offre, la relance peut entretenir l’inflation : il faut d’abord identifier le type de choc (étape 5).
Additionner des écarts sans les élever au carré. Avec une perte linéaire, un écart de 4 points équivaut à quatre écarts de 1 point ; avec une perte quadratique, il pèse quatre fois plus (16 contre 4). Le choix de la forme change la conclusion.
Oublier le troisième objectif dans un calcul à deux instruments. Résoudre pour deux objectifs ne dit rien des autres : il faut toujours calculer l’effet induit sur les sommets non visés.
Lire le chômage BIT comme une mesure complète de l’emploi en Afrique de l’Ouest. Le sous-emploi et l’informalité doivent être pris en compte.

Récapitulatif

Définir les quatre indicateurs (PIB réel, chômage BIT, IPC, solde courant en % du PIB) et leurs cibles.
Normaliser chaque indicateur en un score entre 0 et 1 avec des conventions annoncées.
Tracer le quadrilatère et calculer \(S=\frac{(a+c)(b+d)}{2}\), à comparer au maximum de 2.
Lire la forme : un choc de demande touche l’axe activité-emploi, un choc d’offre importé touche l’axe prix-extérieur.
Arbitrer avec une fonction de perte : un grand écart d’inflation domine vite, ce qui explique la priorité donnée aux prix en 2022.
Respecter la règle de Tinbergen : un objectif de plus demande un instrument de plus.

Sources des chiffres cités

Bureau of Labor Statistics (États-Unis) : taux de chômage de 14,7 % en avril 2020 et de 3,4 % en janvier 2023 (Current Population Survey) ; hausse de l’indice des prix à la consommation de 9,1 % sur un an en juin 2022.
Eurostat : inflation annuelle de la zone euro (IPCH) de 10,6 % en octobre 2022.
BCEAO : définition de la stabilité des prix dans l’UMOA, inflation dans une marge de plus ou moins 1 point de pourcentage autour de 2 %.
Toutes les données du « pays K » et des pays M et N sont fictives et servent uniquement aux exercices.