Objectifs

• Revoir ce que signifie \(a^n\) et le vocabulaire (base, exposant).
• Appliquer, une étape à la fois, les règles du produit, du quotient, de la puissance d'une puissance et de la puissance d'un produit.
• Comprendre pourquoi \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
• Simplifier une expression qui mélange plusieurs règles, sans tomber dans les pièges classiques.

Étape 0 : bien lire une puissance

Pour un nombre \(a\) et un entier \(n \geq 1\) :

\[a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}\]

\(a\) s'appelle la base et \(n\) l'exposant. On lit « \(a\) puissance \(n\) » (ou « \(a\) au carré » pour \(n = 2\), « \(a\) au cube » pour \(n = 3\)). Par convention, \(a^1 = a\).

Pour le message d'Awa : \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\) personnes au 4ᵉ envoi.

Étape 1 : le produit de deux puissances de même base

Comptons les facteurs : \(10^2 \times 10^3 = (10 \times 10) \times (10 \times 10 \times 10)\). Il y a \(2 + 3 = 5\) facteurs 10 en tout, donc le total vaut \(10^5 = 100\,000\) F CFA.

Exemple résolu 1

Écrire \(A = 2^3 \times 2^4\) sous la forme d'une seule puissance, puis calculer.

Étape 2 : le quotient de deux puissances de même base

On écrit tous les facteurs, puis on simplifie la fraction par \(2 \times 2\) :

\[\frac{2^6}{2^2} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16\]

Deux facteurs du haut disparaissent avec les deux du bas : il en reste \(6 - 2 = 4\). Chaque panier contient 16 mangues.

Exemple résolu 2

Simplifier \(B = \dfrac{5^6}{5^2}\).

Étape 3 : la puissance d'une puissance

Avec la règle du produit : \(3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^{6}\). On a additionné trois fois l'exposant 2, c'est-à-dire calculé \(2 \times 3\).

Exemple résolu 3

Écrire \(C = (3^2)^3\) sous la forme d'une puissance de 3, puis calculer.

Étape 4 : la puissance d'un produit

\((2 \times 5)^3 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5)\). En regroupant les 2 d'un côté et les 5 de l'autre (on peut changer l'ordre des facteurs d'un produit) : \(2^3 \times 5^3\).

Exemple résolu 4

Calculer \(D = 2^3 \times 5^3\) de tête.

Étape 5 : exposant nul et exposants négatifs

Ce raisonnement marche pour toute base non nulle : \(\dfrac{a^n}{a^n} = 1\), et la règle du quotient donne aussi \(a^{n-n} = a^0\).

Continuons : \(\dfrac{2^3}{2^5} = \dfrac{2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = \dfrac{1}{2 \times 2} = \dfrac{1}{2^2}\). La règle du quotient donne \(2^{3-5} = 2^{-2}\). Les deux résultats doivent être égaux : \(2^{-2} = \dfrac{1}{2^2}\).

Étape 6 : enchaîner les règles

Voici l'ordre conseillé devant une expression :

flowchart TD
  A[Expression a simplifier] --> B[1 Parentheses avec exposant]
  B --> C[2 Produits de meme base]
  C --> D[3 Quotients de meme base]
  D --> E[4 Traduire exposant nul ou negatif]
  E --> F[Resultat simplifie]

À l'étape 1, on utilise la puissance d'une puissance ou d'un produit ; à l'étape 2, on additionne les exposants ; à l'étape 3, on les soustrait ; à l'étape 4, on remplace \(a^0\) par 1 et \(a^{-n}\) par \(\dfrac{1}{a^n}\) si on veut une valeur.

Exemple résolu 5

Écrire \(E = \dfrac{2^5 \times 2^{-2}}{2^4}\) sous la forme \(2^k\), puis donner sa valeur.

Exemple résolu 6

Écrire \(F = (3^{-2})^2 \times 3^5\) sous la forme \(3^k\).

Exemple résolu 7 (avec une lettre)

Simplifier \(G = (2x)^3 \times x^{-1}\), avec \(x \neq 0\).

Erreurs fréquentes

• Multiplier les exposants dans un produit : \(a^3 \times a^4 = a^7\), pas \(a^{12}\).
• Appliquer les règles à des bases différentes : \(2^3 \times 3^4\) ne se regroupe pas en une seule puissance.
• Appliquer les règles à une somme : \(2^3 + 2^4 \neq 2^7\) et \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\).
• Croire qu'un exposant négatif donne un nombre négatif : \(2^{-1} = 0{,}5\).
• Penser que \(a^0 = 0\) : en réalité \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\)).
• Oublier les parenthèses : \(-3^2 = -9\) mais \((-3)^2 = 9\).
• Mal soustraire avec un exposant négatif : \(\dfrac{a^2}{a^{-3}} = a^{2-(-3)} = a^5\), pas \(a^{-1}\).

Récapitulatif

Pour \(a\) et \(b\) non nuls et \(m\), \(n\) entiers relatifs :

\[\begin{align} a^m \times a^n &= a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n} \\ \left(a^m\right)^n &= a^{m \times n} & (a \times b)^n &= a^n \times b^n \\ a^0 &= 1 & a^{-n} &= \frac{1}{a^n} \end{align}\]

Ces règles valent seulement pour des produits et des quotients de puissances, jamais pour des sommes.