Puissances : règles de calcul

Une puissance compte combien de fois on multiplie un nombre par lui-même ; les règles de calcul consistent simplement à recompter ces facteurs.

Objectifs

Multiplier et diviser des puissances d'un même nombre.
Calculer la puissance d'une puissance, d'un produit et d'un quotient.
Connaître et utiliser \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
Éviter les pièges classiques (somme de puissances, signe moins).

1. Rappel : qu'est-ce qu'une puissance ?

Pour un nombre \(a\) et un entier naturel \(n \geq 1\) :

\[a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}\]

\(a\) est la base, \(n\) est l'exposant. On lit « \(a\) puissance \(n\) ». Par convention, \(a^1 = a\).

Exemples : \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) ; \(10^4 = 10\,000\) ; \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\).

2. Produit et quotient de puissances d'un même nombre

Multiplier des puissances d'un même nombre, c'est mettre les facteurs bout à bout : les exposants s'additionnent.

Pourquoi le quotient ? \(\dfrac{5^6}{5^4} = \dfrac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5 \times 5 \times 5}\) : on simplifie 4 facteurs en haut et en bas, il reste \(5 \times 5 = 5^2\). Et \(6 - 4 = 2\).

Exemple résolu 1

Écris sous la forme d'une seule puissance, puis calcule : \(A = 2^3 \times 2^4\) et \(B = \dfrac{5^6}{5^4}\).

Même base 2 : on additionne les exposants. \(A = 2^{3+4} = 2^7\).

\(2^7 = 128\).

Même base 5 : on soustrait les exposants. \(B = 5^{6-4} = 5^2\).

\(5^2 = 25\).

Que vaut \(3^2 \times 3^5\) ?

\(3^{10}\)
\(3^7\)
\(9^7\)

Même base 3 : on additionne les exposants, \(2 + 5 = 7\). La base ne change pas.

3. Puissance d'une puissance, d'un produit, d'un quotient

Pourquoi ? \((3^2)^3 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^6\) : on additionne trois fois 2, c'est-à-dire \(2 \times 3\).
\((2 \times 5)^3 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 5^3\) : on regroupe les 2 ensemble et les 5 ensemble.

Exemple résolu 2

Calcule \(C = (3^2)^3\), puis \(D = (2 \times 5)^3\) de deux façons.

Voir la solution

\[C = (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729\] \begin{align} D &= (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1\,000 \\ D &= 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1\,000 \end{align}

Les deux méthodes donnent bien le même résultat.

Exemple résolu 3

Calcule \(E = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2\).

Voir la solution

\[E = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}\]

Que vaut \((7^4)^2\) ?

\(7^6\)
\(7^{16}\)
\(7^8\)

Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants, \(4 \times 2 = 8\).

4. Exposant nul et exposants négatifs

Pourquoi \(a^0 = 1\) ? D'après la règle du quotient, \(\dfrac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0\). Mais un nombre non nul divisé par lui-même vaut 1. Donc \(a^0 = 1\).

Pourquoi \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) ? \(\dfrac{2^1}{2^4} = 2^{1-4} = 2^{-3}\), et aussi \(\dfrac{2}{2 \times 2 \times 2 \times 2} = \dfrac{1}{2 \times 2 \times 2} = \dfrac{1}{2^3}\).

Les règles 1 à 5 restent vraies avec des exposants négatifs ou nuls.

Exemple résolu 4

Calcule \(F = 2^{-3}\), \(G = 10^{-2}\), \(H = 7^0\), puis écris \(K = 3^{5} \times 3^{-7}\) sous forme de fraction.

\(F = 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\).

\(G = 10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\).

\(H = 7^0 = 1\).

\(K = 3^{5 + (-7)} = 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}\).

Que vaut \(5^{-2}\) ?

\(\dfrac{1}{25}\)
\(-25\)
\(-10\)

\(5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}\). Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il donne un inverse.

5. Erreurs fréquentes

Bases différentes : \(2^3 \times 3^2\) ne se simplifie pas en une seule puissance. On calcule : \(8 \times 9 = 72\). (Seule exception : même exposant, \(2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3\).)
Multiplier la base : \(3^2 \times 3^5 \neq 9^7\). La base reste 3.
Le signe moins : \((-2)^4 = 16\) mais \(-2^4 = -(2^4) = -16\). Sans parenthèses, la puissance ne porte que sur le 2.
Confondre \(a^n\) et \(a \times n\) : \(2^5 = 32\), pas \(10\).
Exposant négatif : \(4^{-1} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\), et non \(-4\).

Combien vaut \(-3^2\) ?

\(9\)
\(-9\)
\(-6\)

Sans parenthèses, la puissance porte seulement sur 3 : \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\). Avec parenthèses, \((-3)^2 = 9\).

6. Récapitulatif

Pour \(a\) et \(b\) non nuls et \(m\), \(n\) entiers :

\begin{align} a^m \times a^n &= a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n} \\ (a^m)^n &= a^{m \times n} & (a \times b)^n &= a^n \times b^n \\ a^0 &= 1 & a^{-n} &= \frac{1}{a^n} \end{align}

Produit de puissances d'un même nombre

On garde la base et on additionne les exposants : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).

Quotient de puissances d'un même nombre

On soustrait les exposants : \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

Puissance d'une puissance

On multiplie les exposants : \((a^m)^n = a^{mn}\).

Puissance d'un produit

\((ab)^n = a^n b^n\).

Exposant 0 et exposant négatif

\(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) (avec \(a \neq 0\)).