Règles de calcul sur les puissances

Pour multiplier, diviser ou élever des puissances d'un même nombre, on ne calcule pas tout : on additionne, on soustrait ou on multiplie simplement les exposants.

Objectifs

Rappeler ce que signifie \(a^n\), \(a^0\) et \(a^{-n}\).
Appliquer la règle du produit \(a^m \times a^n\) et du quotient \(\dfrac{a^m}{a^n}\).
Appliquer la règle de la puissance d'une puissance \((a^m)^n\) et de la puissance d'un produit \((ab)^n\).
Simplifier une expression en enchaînant ces règles, sans tomber dans les pièges classiques.

1. Rappels : que veut dire \(a^n\) ?

Pour un nombre \(a\) et un entier \(n \geq 1\) :

\[ a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}} \]

\(a\) s'appelle la base et \(n\) l'exposant. On lit « \(a\) puissance \(n\) » (ou « \(a\) exposant \(n\) »).

Deux conventions complètent la définition, pour \(a \neq 0\) :

\[ a^0 = 1 \qquad \text{et} \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

Exemples : \(7^0 = 1\) ; \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\) ; \(10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\).

Que vaut \(5^{-2}\) ?

\(-25\)
\(-10\)
\(\dfrac{1}{25}\)

\(5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}\). L'exposant négatif donne l'inverse, pas un nombre négatif.

2. Produit et quotient de puissances d'un même nombre

Règle du produit

Pour multiplier deux puissances de la même base, on garde la base et on additionne les exposants :

\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]

Exemple : \(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).

Règle du quotient

Pour diviser deux puissances de la même base (\(a \neq 0\)), on garde la base et on soustrait les exposants (celui du haut moins celui du bas) :

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]

Exemple : \(\dfrac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25\). En effet, quatre facteurs 5 se simplifient en haut et en bas.

Cette règle explique les conventions : \(\dfrac{a^3}{a^3} = a^{0}\) et vaut aussi 1, donc \(a^0 = 1\) ; \(\dfrac{a^2}{a^5} = a^{-3}\) et vaut aussi \(\dfrac{1}{a^3}\).

Exemple résolu

Écrire sous la forme d'une seule puissance de 3 : \(A = \dfrac{3^5 \times 3^{-2}}{3^4}\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Étape 1 : le numérateur est un produit de puissances de 3, on additionne les exposants : \(3^5 \times 3^{-2} = 3^{5+(-2)} = 3^3\).

Étape 2 : on divise par \(3^4\), on soustrait les exposants : \(\dfrac{3^3}{3^4} = 3^{3-4} = 3^{-1}\).

Étape 3 : conclusion \(A = 3^{-1} = \dfrac{1}{3}\).

Que vaut \(10^4 \times 10^{-6}\) ?

\(10^{-24}\)
\(10^{-2}\)
\(10^{10}\)

Même base 10 : on additionne les exposants, \(4 + (-6) = -2\). Donc \(10^{-2} = 0{,}01\).

3. Puissance d'une puissance et puissance d'un produit

Puissance d'une puissance

On garde la base et on multiplie les exposants :

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \times n} \]

Exemple : \(\left(3^2\right)^3 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729\).

Puissance d'un produit

L'exposant s'applique à chaque facteur du produit :

\[ (a \times b)^n = a^n \times b^n \]

Exemple : \((2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1\,000\), et on retrouve bien \(10^3\).

De même pour un quotient (\(b \neq 0\)) : \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\), par exemple \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}\).

Quelle règle choisir ?

flowchart TD
  A[Calcul avec des puissances] --> B{Meme base}
  B -->|oui produit| C[Additionner les exposants]
  B -->|oui quotient| D[Soustraire les exposants]
  A --> E{Puissance de puissance}
  E -->|oui| F[Multiplier les exposants]
  A --> G{Produit eleve a une puissance}
  G -->|oui| H[Exposant sur chaque facteur]

Exemple résolu

Simplifier \(B = \dfrac{\left(2^3\right)^2 \times 2^{-1}}{2^4}\), puis \(C = (3x)^2\) pour \(x\) un nombre quelconque. Cherche d'abord.

Voir la solution

\[ B = \frac{2^{3 \times 2} \times 2^{-1}}{2^4} = \frac{2^{6} \times 2^{-1}}{2^4} = \frac{2^{5}}{2^4} = 2^{1} = 2 \]

\[ C = (3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2 \]

Que vaut \(\left(5^{2}\right)^{4}\) ?

\(5^{8}\)
\(5^{6}\)
\(25^{6}\)

Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants, \(2 \times 4 = 8\).

Que vaut \((-2)^4\) ?

\(-16\)
\(-8\)
\(16\)

\((-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16\) : un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif. Attention, \(-2^4\) sans parenthèses vaut \(-16\).

Erreurs fréquentes

Multiplier les exposants dans un produit : \(2^3 \times 2^4 \neq 2^{12}\) ; c'est \(2^7\).
Appliquer la règle à des bases différentes : \(2^3 \times 3^2 \neq 6^5\).
Croire que \(a^{-n}\) est négatif : \(4^{-1} = \dfrac{1}{4}\), et non \(-4\).
Croire que \(a^0 = 0\) : en fait \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\)).
Confondre \((-3)^2 = 9\) et \(-3^2 = -9\).

Exercice d'entraînement

Écrire \(D = \dfrac{10^{5} \times \left(10^{-1}\right)^{3}}{10^{-2}}\) sous la forme d'une puissance de 10, puis en écriture décimale.

Étape 1 : \(\left(10^{-1}\right)^3 = 10^{-3}\).

Étape 2 : numérateur \(10^5 \times 10^{-3} = 10^{2}\).

Étape 3 : \(\dfrac{10^2}{10^{-2}} = 10^{2-(-2)} = 10^{4}\).

Étape 4 : \(D = 10^4 = 10\,000\).

Récapitulatif

Pour tous nombres \(a\) et \(b\) non nuls et tous entiers \(m\) et \(n\) :

\[ \begin{aligned} a^m \times a^n &= a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n} \\ \left(a^m\right)^n &= a^{m \times n} & (a \times b)^n &= a^n \times b^n \\ a^0 &= 1 & a^{-n} &= \frac{1}{a^n} \end{aligned} \]

Produit \(a^m \times a^n\)

\(a^{m+n}\) : on additionne les exposants (même base).

Quotient \(\dfrac{a^m}{a^n}\)

\(a^{m-n}\) : on soustrait les exposants.

Puissance d'une puissance \(\left(a^m\right)^n\)

\(a^{m \times n}\) : on multiplie les exposants.

Puissance d'un produit \((ab)^n\)

\(a^n b^n\) : l'exposant va sur chaque facteur.

\(a^0\) et \(a^{-n}\)

\(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) (un inverse, pas un négatif).