Relation de Bernoulli

Dans un fluide qui s’écoule sans frottement, l’énergie se conserve : là où le fluide va plus vite, sa pression baisse ; là où il monte, sa pression baisse aussi, selon \(P + \frac12\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}\).

Objectifs

Définir le débit volumique et utiliser sa conservation \(S_1v_1 = S_2v_2\).
Énoncer la relation de Bernoulli et ses conditions de validité.
Expliquer l’effet Venturi et calculer une différence de pression.
Retrouver la formule de Torricelli pour la vitesse de vidange d’un réservoir.

1. Débit volumique et conservation

Le débit volumique \(D_V\) est le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps :

\[D_V = \frac{V}{\Delta t} = S\,v\]

avec \(D_V\) en \(\text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}\), \(S\) l’aire de la section en \(\text{m}^2\) et \(v\) la vitesse moyenne du fluide en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).

Pour un fluide incompressible (comme l’eau) en écoulement permanent (rien ne change au cours du temps en un point donné), le débit est le même dans toute section du tuyau :

\[D_V = S_1\,v_1 = S_2\,v_2\]

Exemple résolu 1

Le tuyau de Seydou a un diamètre intérieur de \(2{,}0\ \text{cm}\) et un débit de \(0{,}50\ \text{L}\cdot\text{s}^{-1}\). Calcule la vitesse de l’eau, puis la vitesse si le pouce réduit la section de sortie au quart.

Conversion : \(D_V = 0{,}50\ \text{L}\cdot\text{s}^{-1} = 5{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}\) ; rayon \(r = 1{,}0\times10^{-2}\ \text{m}\).

Section : \(S = \pi r^2 = \pi\times(1{,}0\times10^{-2})^2 \approx 3{,}14\times10^{-4}\ \text{m}^2\).

Vitesse : \(v = \dfrac{D_V}{S} = \dfrac{5{,}0\times10^{-4}}{3{,}14\times10^{-4}} \approx 1{,}6\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).

Section divisée par 4 : \(v' = 4v \approx 6{,}4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).

Une conduite passe d’un diamètre \(d\) à un diamètre \(\frac{d}{2}\). Comment varie la vitesse de l’eau ?

Elle est multipliée par 2.
Elle est multipliée par 4.
Elle est divisée par 2.

La section est proportionnelle au carré du diamètre : diamètre divisé par 2, section divisée par 4, donc vitesse multipliée par 4.

2. La relation de Bernoulli

Pour un fluide parfait (sans frottement), incompressible, en écoulement permanent, en deux points A et B d’une même ligne de courant :

\[P_A + \frac12\rho\,v_A^2 + \rho\,g\,z_A = P_B + \frac12\rho\,v_B^2 + \rho\,g\,z_B\]

\(P\) : pression en pascals (Pa) ;
\(\rho\) : masse volumique du fluide en \(\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}\) (eau : environ \(1{,}0\times10^3\)) ;
\(v\) : vitesse en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) ; \(z\) : altitude en m (axe vertical vers le haut) ; \(g \approx 9{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).

Cas particulier : fluide au repos (\(v_A=v_B=0\)) : on retrouve la loi de la statique des fluides \(P_A - P_B = \rho g (z_B - z_A)\).

Dans une conduite horizontale, l’eau accélère en passant dans un rétrécissement. Que fait la pression ?

Elle augmente.
Elle reste la même.
Elle diminue.

À altitude constante, \(P + \frac12\rho v^2\) se conserve : si \(v\) augmente, \(P\) doit diminuer.

3. L’effet Venturi

Dans un tube horizontal qui se rétrécit (tube de Venturi), la vitesse augmente dans la partie étroite, donc la pression y diminue. Des tubes verticaux branchés sur la conduite le montrent.

Le débit se conserve : dans la partie étroite, l’eau va plus vite (v2 > v1).

Des tubes témoins verticaux montrent la pression : l’eau monte moins haut au-dessus de la partie étroite.

Conclusion de Bernoulli : là où la vitesse est grande, la pression est faible (P2 < P1).

Pour un tube horizontal (\(z_1=z_2\)) :

\[P_1 - P_2 = \frac12\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right)\]

Fais varier le rapport des sections \(k = \frac{S_1}{S_2}\) (donc \(v_2 = k\,v_1\)) : la courbe donne \(P_1-P_2\) (en Pa) dans l’eau selon la vitesse \(v_1\) (en m/s, axe horizontal).

Exemple résolu 2

De l’eau (\(\rho = 1{,}0\times10^3\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}\)) circule à \(v_1 = 2{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) dans une conduite horizontale dont la section est divisée par 2 au niveau d’un étranglement. Cherche \(v_2\) puis \(P_1 - P_2\).

Voir la solution

\[ \begin{align} v_2 &= \frac{S_1}{S_2}\,v_1 = 2\times2{,}0 = 4{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\\ P_1 - P_2 &= \frac12\times1{,}0\times10^3\times\left(4{,}0^2 - 2{,}0^2\right) = 500\times12 = 6{,}0\times10^3\ \text{Pa} \end{align} \]

La pression est plus faible de \(6{,}0\times10^3\ \text{Pa}\) dans l’étranglement.

4. Vidange d’un réservoir : formule de Torricelli

Prenons A à la surface libre (grande section, donc \(v_A \approx 0\)) et B au trou, \(h\) plus bas. Les deux sont à l’air libre : \(P_A = P_B = P_{\text{atm}}\). Bernoulli donne :

\[\rho g h = \frac12\rho v_B^2 \quad\Longrightarrow\quad v_B = \sqrt{2gh}\]

C’est la vitesse qu’aurait une pierre tombant en chute libre d’une hauteur \(h\).

Exemple résolu 3

Le trou est \(h = 0{,}80\ \text{m}\) sous la surface. Cherche la vitesse du jet.

Formule de Torricelli : \(v = \sqrt{2gh}\).

\(v = \sqrt{2\times9{,}8\times0{,}80} = \sqrt{15{,}68}\).

\(v \approx 4{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). En réalité un peu moins, à cause des frottements.

Exemple résolu 4 : pression au pied du château d’eau

La surface de l’eau est \(20\ \text{m}\) au-dessus d’un robinet fermé. Quelle surpression \(P - P_{\text{atm}}\) règne au robinet ?

Voir la solution

Robinet fermé : \(v = 0\) partout. Bernoulli (ou la statique) donne \(P - P_{\text{atm}} = \rho g h = 1{,}0\times10^3\times9{,}8\times20 \approx 2{,}0\times10^5\ \text{Pa}\), soit environ 2 bars. À l’étage d’un immeuble, \(h\) est plus petit : la pression est plus faible.

Si la hauteur d’eau au-dessus du trou est multipliée par 4, la vitesse du jet est…

multipliée par 2.
multipliée par 4.
multipliée par 16.

\(v=\sqrt{2gh}\) : multiplier \(h\) par 4 multiplie \(v\) par \(\sqrt4 = 2\).

Méthode et erreurs fréquentes

flowchart LR
  A[Choisir deux points A et B] --> B[Lister P v z en chaque point]
  B --> C[Conservation du debit si besoin]
  C --> D[Ecrire Bernoulli entre A et B]
  D --> E[Isoler l inconnue et verifier les unites]

Récapitulatif

Débit : \(D_V = S v\) ; fluide incompressible : \(S_1v_1 = S_2v_2\).
Bernoulli : \(P + \frac12\rho v^2 + \rho g z\) se conserve le long d’une ligne de courant.
Effet Venturi : dans un rétrécissement horizontal, la vitesse augmente et la pression diminue.
Torricelli : \(v = \sqrt{2gh}\) pour la vidange d’un réservoir à l’air libre.

Débit volumique

D = S × v, en m³/s ; constant dans une conduite pour un fluide incompressible.

Relation de Bernoulli

P + ½ρv² + ρgz = constante (fluide parfait, incompressible, écoulement permanent).

Effet Venturi

Rétrécissement : vitesse plus grande, pression plus faible.

Formule de Torricelli

v = √(2gh) à la sortie d’un réservoir à l’air libre.

Fluide parfait

Fluide dont on néglige les frottements internes (viscosité).