1. Contexte et objectif

La relation de Bernoulli relie la pression, la vitesse et la altitude d'un fluide en mouvement. C'est une expression de conservation de l'énergie mécanique par unité de masse pour un fluide idéal et stationnaire le long d'une même ligne d'écoulement.

2. Hypothèses et domaine d'application

• Fluide incompressible (masse volumique ρ constante).
• Écoulement stationnaire (variables indépendantes du temps).
• Fluide non visqueux (pas de pertes par frottement).
• Application le long d'une même ligne de courant (même courant/trajectoire).

3. Énoncé de la relation de Bernoulli

Pour deux points 1 et 2 situés sur une même ligne d'écoulement :

p + ½ ρ v² + ρ g z = constante

Autrement dit, le long d'une même trajectoire :

p1 + ½ ρ v1² + ρ g z1 = p2 + ½ ρ v2² + ρ g z2

On peut diviser par ρ g pour obtenir la forme en hauteurs énergétiques (pied, vitesse, altitude) :

p/(ρ g) + v²/(2 g) + z = constante

4. Esquisse de preuve (méthode énergétique)

1. Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S2 parcourues par un volume de fluide (stationnaire).
2. Travail des forces de pression: Wp = p1 dV - p2 dV = (p1 - p2) dV.
3. Travail des forces de pesanteur: Wg = -ρ g (z2 - z1) dV (selon le déplacement).
4. Variation d'énergie cinétique: dE_k = ½ ρ dV (v2² - v1²).
5. Principe travail-énergie : Wp + Wg = dE_k. En divisant par dV et réarrangeant on obtient la relation de Bernoulli.

5. Continuité et cas usuels

Équation de continuité pour fluide incompressible : A1 v1 = A2 v2 (A = aire de section).

Combiner continuité + Bernoulli permet d'évaluer différences de pression liées aux variations de vitesse (effet Venturi).

6. Exemples numériques

Exemple 1 — Venturi simple

Soit un liquide (ρ = 1000 kg·m⁻³). Si v1 = 1,0 m·s⁻¹ et v2 = 2,0 m·s⁻¹, trouver p1 - p2 (z1 = z2).

Utilisation : p1 - p2 = ½ ρ (v2² - v1²) = 0.5×1000×(4 - 1) = 500×3 = 1500 Pa.

Exemple 2 — Tube de Pitot (mesure de vitesse)

Pression statique p_s = 101000 Pa, pression totale p_t = 101200 Pa, ρair ≈ 1.2 kg·m⁻³. En négligeant la hauteur :

Différence dynamique Δp = p_t - p_s = 200 Pa.

v = sqrt(2 Δp / ρ) = sqrt(2×200 / 1.2) ≈ sqrt(333.33) ≈ 18.3 m·s⁻¹.

7. Applications pratiques

• Débit et mesure de vitesse (tubes de Pitot, débitmètres Venturi).
• Compréhension qualitative de la portance (aile d'avion) — effet de différence de pression lié aux vitesses.
• Régimes d'écoulement dans canalisations: notion d'énergie disponible et pertes (si pertes, ajouter terme de perte de charge).

8. Limites et corrections

• Ne tient pas si le fluide est visqueux important (il faut ajouter pertes de charge).
• Pour écoulements compressibles (air à grande vitesse) l'expression change.
• Ne s'applique pas entre points situés sur des trajectoires différentes si transfert d'énergie entre lignes de courant.
• Pour écoulement turbulent ou non stationnaire, l'application directe est limitée.

9. Exercices rapides (avec réponses)

1. Exercice : Eau (ρ=1000 kg·m⁻³) circule ; A1 = 4A2 et v1 = 0.5 m·s⁻¹. Calculer la chute de pression p1 - p2 (z1 = z2).
   Solution : A1 = 4A2 => v2 = 4 v1 = 2.0 m·s⁻¹. p1 - p2 = ½ ρ (v2² - v1²) = 0.5×1000×(4 - 0.25) = 500×3.75 = 1875 Pa.
2. Exercice : Un tube de Pitot mesure Δp = 450 Pa dans l'air (ρ=1.2). Calculer v.
   Solution : v = sqrt(2 Δp / ρ) = sqrt(900 / 1.2) = sqrt(750) ≈ 27.4 m·s⁻¹.

10. Points à retenir

• Bernoulli exprime la conservation de l'énergie mécanique par unité de masse le long d'une ligne de courant : p + ½ ρ v² + ρ g z = cste.
• Associer Bernoulli à la continuité permet de relier géométrie (sections), vitesses et pressions.
• Vérifier toujours les hypothèses avant application (viscosité, compressibilité, stationnarité).