Objectifs

• Connaître les positions relatives de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans.
• Utiliser les règles de parallélisme pour démontrer qu'une droite est parallèle à un plan, ou que deux plans sont parallèles.
• Reconnaître des droites orthogonales et une droite perpendiculaire à un plan.
• Raisonner sur un cube ou un pavé droit.

0. Notre support : le cube ABCDEFGH

Dans tout le cours, \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) sont respectivement au-dessus de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Les arêtes cachées sont en pointillés.

1. Positions relatives de deux droites

Deux droites sont coplanaires s'il existe un plan qui les contient toutes les deux. Il y a alors trois cas possibles :

• Coplanaires et sécantes : elles ont un seul point commun. Exemple : \((AB)\) et \((BC)\) se coupent en \(B\).
• Coplanaires et parallèles : elles sont strictement parallèles (aucun point commun) ou confondues. Exemple : \((AB) \parallel (HG)\).
• Non coplanaires : aucun plan ne les contient ; elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles. Exemple : \((AB)\) et \((CG)\).

flowchart TD
  A[Deux droites] --> B[Coplanaires]
  A --> C[Non coplanaires]
  B --> D[Sécantes en un point]
  B --> E[Parallèles]
  C --> F[Aucun point commun et pas parallèles]

2. Positions relatives d'une droite et d'un plan

Soit une droite \((d)\) et un plan \(\mathcal{P}\). Trois cas :

• \((d)\) est incluse dans \(\mathcal{P}\) : \((d) \subset \mathcal{P}\). Exemple : \((AC) \subset (ABC)\).
• \((d)\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\) : aucun point commun. Exemple : \((EF)\) et le plan \((ABC)\).
• \((d)\) et \(\mathcal{P}\) sont sécants en un point \(I\) : \((d) \cap \mathcal{P} = \{I\}\). Exemple : \((AG)\) coupe le plan \((ABC)\) en \(A\).

Dans les deux premiers cas, on dit que \((d)\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\).

Exemple résolu

Montrer que la droite \((HG)\) est parallèle au plan \((ABC)\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

3. Positions relatives de deux plans

Deux plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\) sont :

• parallèles : strictement parallèles (aucun point commun), comme \((ABC)\) et \((EFG)\), ou confondus ;
• sécants : leur intersection est une droite. Exemple : \((ABC) \cap (BCG) = (BC)\).

Exemple résolu, figure étape par étape

Le plan \((ACG)\) coupe les faces du bas et du haut. Montrer que \((AC) \parallel (EG)\).

4. Orthogonalité dans l'espace

• Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Elles peuvent ne pas se toucher ! Exemple : \((AB)\) et \((CG)\) sont orthogonales car \((AB) \parallel (DC)\) et \((DC) \perp (CG)\).
• Deux droites perpendiculaires sont orthogonales ET sécantes. Exemple : \((AB) \perp (BC)\) en \(B\).
• Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites du plan.

Exemple résolu

Montrer que \((AE)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\), puis que \((AE)\) et \((BD)\) sont orthogonales.

5. Entraînement : légende le cube

Place chaque nom de sommet au bon endroit sur le cube (face du bas ABCD, E au-dessus de A, et ainsi de suite).

Récapitulatif

• Deux droites : sécantes, parallèles (coplanaires) ou non coplanaires.
• Droite et plan : incluse, strictement parallèle ou sécante en un point.
• Deux plans : parallèles ou sécants selon une droite.
• \((d) \parallel (\Delta)\) avec \((\Delta) \subset \mathcal{P}\) entraîne \((d) \parallel \mathcal{P}\).
• Un plan qui coupe deux plans parallèles les coupe selon deux droites parallèles.
• Une droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est perpendiculaire à ce plan.