Relations métriques en trigonométrie avancée

Les relations métriques permettent de relier les côtés et les angles d'un triangle rectangle. Elles sont essentielles pour résoudre des problèmes en trigonométrie.

Les principales relations

• Le théorème de Pythagore :

  Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse \(c\) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés \(a\) et \(b\):

  \[ c^2 = a^2 + b^2 \]

• Les fonctions trigonométriques :

  Pour un angle aigu \( heta\) dans un triangle rectangle :

  • sinus : \(\sin heta = \dfrac{ ext{opposé}}{ ext{hypoténuse}} = \dfrac{b}{c}\)
  • cosinus : \(\cos heta = \dfrac{ ext{adjacent}}{ ext{hypoténuse}} = \dfrac{a}{c}\)
  • tangent : \( an heta = \dfrac{ ext{opposé}}{ ext{adjacent}} = \dfrac{b}{a}\)

Relations métriques entre les côtés et angles

Ces relations permettent d'exprimer un côté en fonction d'un angle et d'un autre côté, par exemple :

• \( ext{Dans un triangle rectangle, } a = c \cos heta \)
• \( ext{De même, } b = c \sin heta \)

Identités importantes

Quelques relations qui relient sin, cos et tan :

• \(\sin^2 heta + \cos^2 heta = 1\)
• \( an heta = \dfrac{\sin heta}{\cos heta}\)
• \(\sec^2 heta - 1 = an^2 heta\), où \(\sec heta = \dfrac{1}{\cos heta}\)

Applications

Ces relations permettent de déterminer un côté ou un angle à partir d'une seule donnée, en utilisant la connaissances des fonctions trigonométriques et du théorème de Pythagore.