Relations racines-coefficients
Relations entre racines et coefficients (formules de Viète)
Mathématiques · 1ère · Thème : Polynômes, sommes et produits
Sans calculer les racines d'un trinôme \(ax^2+bx+c\), on connaît déjà leur somme \(S=-\frac{b}{a}\) et leur produit \(P=\frac{c}{a}\) : cela permet de trouver une racine à partir de l'autre, deux nombres connaissant leur somme et leur produit, et le signe des racines.
Objectifs du cours
- Connaître et démontrer les relations \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) et \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\).
- Trouver la deuxième racine quand on en connaît une.
- Trouver deux nombres dont on connaît la somme et le produit.
- Déterminer le signe des racines sans les calculer et calculer des expressions comme \(x_1^2 + x_2^2\).
- Découvrir les relations analogues pour un polynôme de degré 3.
Notions clés
1. Rappel : racines d'un trinôme
Soit l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\) et son discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\). Si \(\Delta \geq 0\), elle a deux racines réelles (éventuellement égales) :
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}. \]2. Somme et produit des racines
Démonstration.
\begin{align} x_1 + x_2 &= \frac{-b - \sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\\ x_1 x_2 &= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} \end{align}On en déduit la forme factorisée : \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) = a\big(x^2 - Sx + P\big)\).
3. Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Déplace les curseurs : la parabole \(y = x^2 - Sx + P\) coupe l'axe des abscisses aux deux nombres cherchés, lorsqu'ils existent.
4. Signe des racines sans les calculer
On suppose \(\Delta > 0\) (deux racines distinctes) :
- si \(P < 0\) : les racines sont de signes contraires (et dans ce cas \(\Delta > 0\) automatiquement, car \(ac < 0\)) ;
- si \(P > 0\) et \(S > 0\) : deux racines positives ;
- si \(P > 0\) et \(S < 0\) : deux racines négatives.
flowchart TD
A[Trinome avec Delta positif] --> B{Signe de P}
B -- P negatif --> C[Racines de signes contraires]
B -- P positif --> D{Signe de S}
D -- S positif --> E[Deux racines positives]
D -- S negatif --> F[Deux racines negatives]
5. Expressions symétriques des racines
\begin{align} x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P\\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} &= \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{S}{P} \quad (P \neq 0)\\ (x_1 - x_2)^2 &= S^2 - 4P \end{align}6. Prolongement : polynôme de degré 3
Si \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) (\(a \neq 0\)) a trois racines \(x_1, x_2, x_3\), alors :
\[ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}, \qquad x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}. \]Pour l'équation \(x^2 - 9x + 20 = 0\), quelles sont la somme \(S\) et le produit \(P\) des racines ?
Exemples résolus
Exemple 1 : vérifier les formules
Résoudre \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) puis vérifier \(S\) et \(P\).
Exemple 2 : trouver l'autre racine
Vérifier que \(3\) est racine de \(x^2 + 4x - 21 = 0\), puis trouver l'autre racine sans calculer \(\Delta\).
Voir la solution
\(3^2 + 4\times 3 - 21 = 9 + 12 - 21 = 0\) : \(3\) est bien racine.
Le produit des racines vaut \(P = \frac{c}{a} = -21\), donc \(3 \times x_2 = -21\) et \(x_2 = -7\).
Contrôle avec la somme : \(3 + (-7) = -4 = -\frac{b}{a}\).
Exemple 3 : les dimensions du champ
Un champ rectangulaire a un périmètre de 30 m et une aire de 56 m². Trouver sa longueur et sa largeur.
Exemple 4 : expressions symétriques
Soit \(x_1\) et \(x_2\) les racines de \(x^2 - 5x + 3 = 0\). Calculer \(x_1^2 + x_2^2\) et \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\) sans calculer les racines.
Voir la solution
D'abord, \(\Delta = 25 - 12 = 13 > 0\) : les deux racines existent. On a \(S = 5\) et \(P = 3\).
\begin{align} x_1^2 + x_2^2 &= S^2 - 2P = 25 - 6 = 19\\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} &= \frac{S}{P} = \frac{5}{3} \end{align}Exemple 5 : signe des racines
Sans résoudre, donner le signe des racines de \(3x^2 + 5x - 4 = 0\), puis de \(x^2 + 6x + 5 = 0\).
Voir la solution
Pour \(3x^2 + 5x - 4 = 0\) : \(P = -\frac{4}{3} < 0\), donc deux racines de signes contraires.
Pour \(x^2 + 6x + 5 = 0\) : \(\Delta = 36 - 20 = 16 > 0\), \(P = 5 > 0\) et \(S = -6 < 0\) : deux racines négatives (ce sont \(-1\) et \(-5\)).
Exemple 6 : degré 3
Le polynôme \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) a pour racines \(1\), \(2\) et \(3\). Vérifier les relations de Viète.
Voir la solution
Ici \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 11\), \(d = -6\).
- \(1 + 2 + 3 = 6 = -\frac{b}{a}\) ;
- \(1\times 2 + 1\times 3 + 2\times 3 = 2 + 3 + 6 = 11 = \frac{c}{a}\) ;
- \(1\times 2\times 3 = 6 = -\frac{d}{a}\).
On sait que \(4\) est racine de \(x^2 - x - 12 = 0\). Quelle est l'autre racine ?
Quels sont les deux nombres dont la somme vaut 10 et le produit 21 ?
Erreurs fréquentes
Sans résoudre, que peut-on dire des racines de \(2x^2 - 3x - 5 = 0\) ?
Récapitulatif
- Pour \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(\Delta \geq 0\) : \(S = -\frac{b}{a}\), \(P = \frac{c}{a}\).
- Deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les solutions de \(X^2 - SX + P = 0\).
- Une racine connue donne l'autre grâce à \(P\) (ou \(S\)).
- Le signe de \(P\), puis de \(S\), donne le signe des racines.
- Degré 3 : somme \(-\frac{b}{a}\), somme des produits deux à deux \(\frac{c}{a}\), produit \(-\frac{d}{a}\).
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