Objectifs du cours

• Repérer les racines « cachées » \(1\) et \(-1\) grâce aux coefficients.
• Construire une équation du second degré dont on connaît les racines.
• Construire l'équation dont les racines sont \(x_1^2\) et \(x_2^2\), ou \(\frac{1}{x_1}\) et \(\frac{1}{x_2}\).
• Trouver la valeur d'un paramètre pour qu'une condition sur les racines soit vérifiée.
• Résoudre un système « somme et somme des carrés » en le ramenant à une somme et un produit.

Notions clés

1. Rappel : les formules de Viète

2. Les racines cachées \(1\) et \(-1\)

• Si \(a+b+c=0\), alors \(1\) est racine (car \(a\times 1^2+b\times 1+c=a+b+c\)) et, par le produit, l'autre racine est \(\frac{c}{a}\).
• Si \(a-b+c=0\), alors \(-1\) est racine et l'autre racine est \(-\frac{c}{a}\).

3. Construire une équation à partir de ses racines

Pour obtenir les racines \(u\) et \(v\), on prend \(S=u+v\), \(P=uv\) et l'équation \(x^2-Sx+P=0\) (ou n'importe quel multiple non nul de cette équation).

4. Les racines transformées

Les expressions symétriques permettent de calculer la somme et le produit de nouvelles racines :

On obtient ainsi l'équation dont les racines sont \(x_1^2\) et \(x_2^2\), ou \(\frac{1}{x_1}\) et \(\frac{1}{x_2}\), sans jamais calculer \(x_1\) ni \(x_2\).

5. Les équations à paramètre

Méthode générale :

flowchart TD
A[Equation avec parametre m] --> B[Exprimer S et P en fonction de m]
B --> C[Traduire la condition avec S et P]
C --> D[Resoudre en m]
D --> E[Verifier que Delta est positif ou nul]

Déplace le curseur \(m\) : la parabole \(y=x^2-(m+1)x+m-2\) se déplace et ses points d'intersection avec l'axe des abscisses (les racines) changent. Pour \(m=2\), l'une des racines vaut exactement \(3\).

Exemples résolus

Exemple 1 : deux racines cachées

Résoudre sans discriminant \(5x^2-2x-3=0\), puis \(3x^2+7x+4=0\).

Exemple 2 : une équation à racines irrationnelles

Écrire une équation du second degré à coefficients entiers dont les racines sont \(2+\sqrt{3}\) et \(2-\sqrt{3}\).

Exemple 3 : l'équation des carrés et des inverses

On note \(x_1\) et \(x_2\) les racines de \(x^2-3x-5=0\). Former l'équation dont les racines sont \(x_1^2\) et \(x_2^2\), puis celle dont les racines sont \(\frac{1}{x_1}\) et \(\frac{1}{x_2}\).

Exemple 4 : régler un paramètre

On considère \(x^2-(m+1)x+m-2=0\). Trouver \(m\) pour que \(3\) soit racine, puis donner l'autre racine sans résoudre.

Exemple 5 : une condition sur la somme des carrés

On considère \(x^2-2mx+m^2-1=0\). Trouver \(m\) pour que \(x_1^2+x_2^2=10\).

Exemple 6 : les deux parcelles de Kara

Erreurs fréquentes

• Appliquer Viète à une équation sans racine réelle (\(\Delta\lt 0\)) : les résultats n'ont alors aucun sens pour des racines réelles.
• Oublier de vérifier \(\Delta\) pour les valeurs du paramètre trouvées.
• Écrire \(x_1^2+x_2^2=S^2\) en oubliant le terme \(-2P\).
• Calculer \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{S}\) au lieu de \(\frac{S}{P}\).
• Oublier que l'équation \(x^2-Sx+P=0\) suppose un coefficient dominant égal à \(1\) : pour \(2x^2+\ldots\), il faut diviser par \(2\) avant de lire \(S\) et \(P\).

Récapitulatif

• \(S=-\frac{b}{a}\), \(P=\frac{c}{a}\), valables si \(\Delta\geq 0\).
• \(a+b+c=0\) : racines \(1\) et \(\frac{c}{a}\) ; \(a-b+c=0\) : racines \(-1\) et \(-\frac{c}{a}\).
• Racines \(u\) et \(v\) données : \(x^2-(u+v)x+uv=0\).
• Carrés : somme \(S^2-2P\), produit \(P^2\). Inverses : somme \(\frac{S}{P}\), produit \(\frac{1}{P}\).
• Paramètre : exprimer \(S\) et \(P\) en fonction de \(m\), traduire la condition, résoudre, vérifier \(\Delta\).