Objectifs du cours

• Lire sans erreur de signe la somme \(S\) et le produit \(P\) des racines, même quand l'équation n'est pas rangée.
• Savoir si les racines existent avant d'utiliser les formules.
• Deviner des racines entières grâce aux couples de diviseurs du produit.
• Contrôler en quelques secondes les racines obtenues par le discriminant.
• Résoudre un problème où l'on connaît une somme et un produit.

Notions clés

Rappel : les formules

Soit l'équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a\neq0\) et \(\Delta=b^2-4ac\geq0\). Ses racines \(x_1\) et \(x_2\) (égales si \(\Delta=0\)) vérifient

Preuve rapide : \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\). En ajoutant, les racines carrées s'annulent : \(S=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\). En multipliant : \(P=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\).

1. Étape 1 : ranger l'équation et lire \(S\) et \(P\)

On écrit l'équation sous la forme \(ax^2+bx+c=0\) (tout dans le membre de gauche), puis on lit les coefficients avec leur signe.

• \(-x^2+4x+5=0\) : \(a=-1\), \(b=4\), \(c=5\), donc \(S=-\frac{4}{-1}=4\) et \(P=\frac{5}{-1}=-5\).
• \(3x^2-12=0\) : il n'y a pas de terme en \(x\), donc \(b=0\) : \(S=0\) et \(P=-4\) (racines \(2\) et \(-2\)).
• \(x^2-5x=0\) : pas de terme constant, donc \(c=0\) : \(P=0\) et \(S=5\) (racines \(0\) et \(5\)).
• \(3x^2=5x+2\) se range en \(3x^2-5x-2=0\) : \(S=\frac{5}{3}\) et \(P=-\frac{2}{3}\).

2. Étape 2 : vérifier que les racines existent

Les formules ne parlent de racines réelles que si \(\Delta\geq0\). Deux raccourcis évitent souvent le calcul :

• si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, alors \(-4ac>0\), donc \(\Delta=b^2-4ac>0\) : il y a toujours deux racines distinctes, de signes contraires (car \(P<0\)) ;
• sinon, on calcule \(\Delta\), ou, pour l'équation \(x^2-Sx+P=0\), on regarde si \(S^2-4P\geq0\).

Exemple : pour \(x^2-4x+7=0\), on aurait \(S=4\) et \(P=7\), mais \(\Delta=16-28=-12<0\) : il n'existe aucun réel \(x_1\), \(x_2\) avec cette somme et ce produit.

Le graphique ci-dessous trace \(y=x^2-Sx+P\). Fais varier \(S\) et \(P\) : quand la parabole coupe l'axe des abscisses, les deux points d'intersection ont pour somme \(S\) et pour produit \(P\) ; quand elle ne le coupe plus, il n'y a pas de racine.

3. Étape 3 : deviner des racines entières

Quand \(a=1\) et que \(b\) et \(c\) sont entiers, on cherche deux entiers de produit \(P=c\) et de somme \(S=-b\) :

1. Le signe de \(P\) : si \(P>0\), les racines ont le même signe (celui de \(S\)) ; si \(P<0\), elles sont de signes contraires.
2. On écrit les couples de diviseurs de \(|P|\) et on garde celui qui donne la bonne somme.
3. On vérifie en remplaçant dans l'équation.

4. Étape 4 : contrôler une résolution

Après avoir calculé \(x_1\) et \(x_2\) avec le discriminant, on vérifie que \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) et \(x_1x_2=\frac{c}{a}\). Si l'une des deux égalités est fausse, il y a une erreur de calcul (souvent un signe).

Exemple : pour \(2x^2-3x-5=0\), on trouve \(\frac{5}{2}\) et \(-1\). Contrôle : \(\frac{5}{2}+(-1)=\frac{3}{2}=-\frac{-3}{2}\) et \(\frac{5}{2}\times(-1)=-\frac{5}{2}=\frac{c}{a}\). Les deux égalités sont vraies.

5. Étape 5 : résoudre un problème « somme et produit »

Si deux nombres ont pour somme \(S\) et pour produit \(P\), ce sont les solutions de

Méthode : (1) repérer \(S\) et \(P\) dans l'énoncé ; (2) écrire \(x^2-Sx+P=0\) ; (3) vérifier l'existence (\(S^2-4P\geq0\)) ; (4) résoudre, de tête ou avec \(\Delta\) ; (5) vérifier que la réponse a du sens dans le problème.

flowchart LR
A[Enonce] --> B[Reperer S et P]
B --> C[Ecrire l equation de somme S et produit P]
C --> D{Discriminant positif ou nul}
D -- non --> E[Pas de solution]
D -- oui --> F[Resoudre]
F --> G[Verifier le sens]

Exemples résolus

Cherche d'abord chaque exemple seul, puis compare avec la correction.

Exemple 1 : une équation avec \(a\) négatif

Exemple 2 : deviner avec un produit négatif

Exemple 3 : repérer une erreur

Exemple 4 : les âges des deux cousines

Exemple 5 : un problème sans solution

Erreurs fréquentes

• Oublier le signe moins de \(S=-\frac{b}{a}\).
• Oublier de diviser par \(a\) : pour \(2x^2+6x-8=0\), \(P=-4\) et non \(-8\).
• Lire les coefficients d'une équation non rangée : il faut d'abord tout passer à gauche.
• Ne contrôler que la somme : il faut aussi vérifier le produit.

Récapitulatif

• Si \(\Delta\geq0\) : \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) et \(x_1x_2=\frac{c}{a}\).
• Méthode : ranger et lire \(S\), \(P\) ; vérifier l'existence ; deviner ; contrôler ; résoudre un problème avec \(x^2-Sx+P=0\).
• Si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, il y a deux racines de signes contraires.