Représentation de la tension sinusoïdale

La tension de la prise de courant change sans cesse de valeur et de signe en suivant une courbe en forme de vague, la sinusoïde : on la décrit par sa valeur maximale, sa période et sa fréquence, que l'on lit sur l'écran d'un oscilloscope.

Objectifs

Distinguer une tension continue d'une tension alternative sinusoïdale.
Reconnaître et décrire la courbe d'une tension sinusoïdale.
Définir la tension maximale \(U_{\max}\), la période \(T\) et la fréquence \(f\), et utiliser la relation \(f = \dfrac{1}{T}\).
Lire un oscillogramme à l'aide de la sensibilité verticale et de la durée de balayage.
Relier la tension efficace, mesurée par un voltmètre, à la tension maximale.

1. Tension continue et tension alternative

Notions clés

Une tension continue garde toujours la même valeur et le même signe : c'est le cas d'une pile de \(1{,}5\ \text{V}\) ou d'une batterie de \(12\ \text{V}\).
Une tension variable change de valeur au cours du temps.
Une tension alternative est une tension variable qui prend tour à tour des valeurs positives et négatives.
Une tension est périodique lorsqu'elle se répète identique à elle-même à intervalles de temps réguliers.
La tension du secteur (la prise de courant) est alternative, périodique et sinusoïdale : sa courbe a la forme d'une vague régulière appelée sinusoïde.

Une tension qui prend tour à tour des valeurs positives et négatives est une tension :

continue
constante
alternative

Par définition, une tension alternative change de signe au cours du temps. Une tension continue garde toujours le même signe et la même valeur.

2. La courbe d'une tension sinusoïdale

Notions clés

On représente la tension \(u\) en fonction du temps \(t\) : le temps est sur l'axe horizontal, la tension sur l'axe vertical. Trois grandeurs décrivent la courbe :

La tension maximale \(U_{\max}\) (en volts, \(\text{V}\)) : la plus grande valeur atteinte, au sommet de la courbe. La tension varie entre \(+U_{\max}\) et \(-U_{\max}\).
La période \(T\) (en secondes, \(\text{s}\)) : la durée d'un motif complet, par exemple le temps entre deux sommets successifs.
La fréquence \(f\) (en hertz, \(\text{Hz}\)) : le nombre de motifs (de périodes) par seconde.

La fréquence et la période sont liées par :

\[f = \frac{1}{T} \qquad \text{avec } f \text{ en Hz et } T \text{ en s}\]

Pour aller plus loin, la formule mathématique de cette courbe s'écrit \(u(t) = U_{\max} \sin(2\pi f t)\) : la fonction sinus donne la forme de vague, \(U_{\max}\) sa hauteur et \(f\) son rythme.

Manipule les curseurs : \(U\) règle la tension maximale (en volts) et \(T\) la période (en millisecondes). Le temps est en millisecondes sur l'axe horizontal.

Exemple résolu : la tension du secteur

En Afrique de l'Ouest francophone, la tension du secteur a en général une fréquence de \(50\ \text{Hz}\). Quelle est sa période, en secondes puis en millisecondes ? Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Étape 1 : on connaît \(f = 50\ \text{Hz}\) et on cherche \(T\). On transforme la relation : \[T = \frac{1}{f}\]

Étape 2 : on remplace : \[T = \frac{1}{50} = 0{,}02\ \text{s}\]

Étape 3 : on convertit : \(1\ \text{s} = 1000\ \text{ms}\), donc \[T = 0{,}02 \times 1000 = 20\ \text{ms}\] La tension du secteur répète son motif 50 fois par seconde, un motif toutes les 20 millisecondes.

Une tension sinusoïdale a une période \(T = 0{,}01\ \text{s}\). Quelle est sa fréquence ?

\(100\ \text{Hz}\)
\(10\ \text{Hz}\)
\(0{,}01\ \text{Hz}\)

\(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}01} = 100\ \text{Hz}\) : la tension fait 100 motifs par seconde.

3. Lire un oscillogramme

Notions clés

L'oscilloscope est un appareil qui affiche la courbe de la tension en fonction du temps : c'est l'oscillogramme. Son écran est quadrillé en divisions (div). Deux réglages servent d'échelles :

la sensibilité verticale \(S_v\), en volts par division (\(\text{V/div}\)) ;
la durée de balayage (ou base de temps) \(b\), en millisecondes par division (\(\text{ms/div}\)).

\[U_{\max} = n_v \times S_v \qquad\qquad T = n_h \times b\]

où \(n_v\) est le nombre de divisions entre l'axe central et le sommet de la courbe, et \(n_h\) le nombre de divisions occupées par une période.

flowchart LR
  A[Compter les divisions] --> B[Multiplier par le réglage]
  B --> C[Umax en volts]
  B --> D[T en ms]
  D --> E[Convertir T en s]
  E --> F[Calculer f]

Exemple résolu : lire l'oscillogramme

Réglages : sensibilité verticale \(2\ \text{V/div}\), durée de balayage \(5\ \text{ms/div}\). Dévoile la lecture étape par étape.

Étape 1 : on compte les divisions entre l'axe central et le sommet de la courbe : 3 divisions. Donc \(U_{\max} = 3 \times 2 = 6\ \text{V}\).

Étape 2 : on compte les divisions entre deux sommets successifs, c'est-à-dire une période : 4 divisions. Donc \(T = 4 \times 5 = 20\ \text{ms} = 0{,}02\ \text{s}\).

Étape 3 : on en déduit la fréquence : \(f = \dfrac{1}{0{,}02} = 50\ \text{Hz}\). C'est la fréquence du secteur, mais avec une tension beaucoup plus petite.

À toi : sur un autre oscillogramme, la sensibilité verticale est \(5\ \text{V/div}\) et le balayage \(2\ \text{ms/div}\). Le sommet est à 2,4 divisions de l'axe et une période occupe 5 divisions. Calcule \(U_{\max}\), \(T\) et \(f\).

Voir la solution

\[U_{\max} = 2{,}4 \times 5 = 12\ \text{V}\] \[T = 5 \times 2 = 10\ \text{ms} = 0{,}01\ \text{s}\] \[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}01} = 100\ \text{Hz}\]

Sur un oscillogramme, le sommet est à 4 divisions de l'axe central, avec une sensibilité verticale de \(0{,}5\ \text{V/div}\). Que vaut \(U_{\max}\) ?

\(8\ \text{V}\)
\(2\ \text{V}\)
\(4{,}5\ \text{V}\)

\(U_{\max} = n_v \times S_v = 4 \times 0{,}5 = 2\ \text{V}\). On multiplie le nombre de divisions par la sensibilité, on ne divise pas.

4. Tension maximale et tension efficace

Notions clés

Un voltmètre branché en mode alternatif (position AC ou « ~ ») n'affiche pas la tension maximale, mais la tension efficace \(U_{\text{eff}}\). C'est la valeur d'une tension continue qui produirait le même effet de chauffage dans une résistance. Pour une tension sinusoïdale :

\[U_{\text{eff}} = \frac{U_{\max}}{\sqrt{2}} \qquad \text{donc} \qquad U_{\max} = U_{\text{eff}} \times \sqrt{2}\]

Les \(220\ \text{V}\) indiqués pour le secteur sont une tension efficace.

Exemple résolu : la tension maximale du secteur

La tension efficace du secteur vaut \(220\ \text{V}\). Calcule sa tension maximale.

Voir la solution

\[U_{\max} = U_{\text{eff}} \times \sqrt{2} = 220 \times \sqrt{2} \approx 311\ \text{V}\]

À chaque sommet, la tension du secteur atteint environ \(311\ \text{V}\), puis environ \(-311\ \text{V}\) au creux. C'est une raison de plus pour ne jamais toucher les fils d'une prise.

L'oscillogramme de l'exemple précédent montrait \(U_{\max} = 6\ \text{V}\). Que va afficher un voltmètre en mode alternatif ?

\(6\ \text{V}\)
\(8{,}49\ \text{V}\)
Environ \(4{,}24\ \text{V}\)

Le voltmètre affiche la tension efficace : \(U_{\text{eff}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} \approx 4{,}24\ \text{V}\), toujours plus petite que \(U_{\max}\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Tension alternative sinusoïdale

Tension qui change de signe et dont la courbe a la forme d'une vague régulière, la sinusoïde.

Période \(T\)

Durée d'un motif complet de la courbe, en secondes.

Fréquence \(f\)

Nombre de périodes par seconde, en hertz : \(f = \dfrac{1}{T}\).

Tension maximale \(U_{\max}\)

Plus grande valeur de la tension, lue du centre au sommet : \(U_{\max} = n_v \times S_v\).

Tension efficace

Valeur affichée par le voltmètre en mode alternatif : \(U_{\text{eff}} = \dfrac{U_{\max}}{\sqrt{2}}\).