Représentation des vecteurs à l'aide des coordonnées

Dans un repère, un vecteur se résume à deux nombres : combien de carreaux on avance vers la droite (ou la gauche) et combien on monte (ou descend) ; avec ces deux nombres et un point de départ, on sait le dessiner n'importe où.

Objectifs

Calculer les coordonnées d'un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) à partir des coordonnées de son point de départ \(A\) et de son point d'arrivée \(B\).
Représenter un vecteur de coordonnées données à partir de n'importe quel point.
Calculer les coordonnées du point d'arrivée connaissant le point de départ et le vecteur.
Utiliser l'égalité de deux vecteurs (mêmes coordonnées) pour reconnaître ou construire un parallélogramme.

1. Les coordonnées d'un vecteur

Notions clés

Le plan est muni d'un repère \((O\,;\,I\,;\,J)\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) représente le déplacement (la translation) qui envoie \(A\) sur \(B\) : il a une direction, un sens et une longueur.

Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont :

\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\]

On l'écrit aussi \(\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\). La première coordonnée (l'abscisse) indique le déplacement horizontal, la seconde (l'ordonnée) le déplacement vertical.

Lire le vecteur sur un quadrillage

Observe comment on passe de \(A(1\,;\,2)\) à \(B(4\,;\,3)\), étape par étape.

On place le point de départ \(A(1\,;\,2)\) et le point d'arrivée \(B(4\,;\,3)\).

Horizontalement, on va de l'abscisse 1 à l'abscisse 4 : on avance de \(4 - 1 = 3\) carreaux vers la droite.

Verticalement, on va de l'ordonnée 2 à l'ordonnée 3 : on monte de \(3 - 2 = 1\) carreau.

La flèche de \(A\) vers \(B\) représente \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Exemple résolu

Soit \(A(-2\,;\,1)\) et \(B(1\,;\,-3)\). Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\). Cherche d'abord.

Abscisse : \(x_B - x_A = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3\).

Ordonnée : \(y_B - y_A = -3 - 1 = -4\).

Donc \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) : on avance de 3 carreaux vers la droite et on descend de 4 carreaux.

On donne \(A(3\,;\,5)\) et \(B(1\,;\,2)\). Quelles sont les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) ?

\((2\,;\,3)\)
\((-2\,;\,-3)\)
\((4\,;\,7)\)

Arrivée moins départ : \(1 - 3 = -2\) et \(2 - 5 = -3\). Le déplacement va vers la gauche et vers le bas.

2. Représenter un vecteur à partir d'un point

Un vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) n'a pas de position fixe : on peut le dessiner à partir de n'importe quel point. Pour le représenter à partir d'un point \(C(x_C\,;\,y_C)\) :

on part de \(C\) ;
on se déplace de \(a\) carreaux horizontalement, puis de \(b\) carreaux verticalement ;
on obtient le point \(D\) et on trace la flèche de \(C\) vers \(D\).

Par le calcul, le point d'arrivée a pour coordonnées :

\[D(x_C + a\,;\,y_C + b)\]

Exemple résolu

Représente \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) à partir du point \(C(-1\,;\,4)\) : quelles sont les coordonnées du point d'arrivée \(D\) ? Cherche d'abord.

Voir la solution

On ajoute les coordonnées du vecteur à celles du point de départ :

\begin{align} x_D &= x_C + 2 = -1 + 2 = 1 \\ y_D &= y_C + (-3) = 4 - 3 = 1 \end{align}

Donc \(D(1\,;\,1)\). Sur le quadrillage : depuis \(C\), 2 carreaux vers la droite puis 3 carreaux vers le bas. Vérification : \(\overrightarrow{CD}\,(1 - (-1)\,;\,1 - 4) = (2\,;\,-3)\).

On représente \(\vec{v}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) à partir de \(E(3\,;\,0)\). Où arrive-t-on ?

\(F(-1\,;\,2)\)
\(F(7\,;\,2)\)
\(F(-1\,;\,-2)\)

\(3 + (-4) = -1\) et \(0 + 2 = 2\), donc \(F(-1\,;\,2)\) : 4 carreaux vers la gauche et 2 vers le haut.

On connaît \(B(5\,;\,1)\), point d'arrivée de \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Quel est le point de départ \(A\) ?

\(A(7\,;\,5)\)
\(A(-3\,;\,3)\)
\(A(3\,;\,-3)\)

On fait le chemin à l'envers : \(x_A = 5 - 2 = 3\) et \(y_A = 1 - 4 = -3\). Vérification : \(5 - 3 = 2\) et \(1 - (-3) = 4\).

3. Vecteurs égaux, vecteurs opposés et parallélogramme

Notions clés

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
Le vecteur opposé de \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) est \(\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -a \\ -b \end{pmatrix}\) : même longueur, même direction, sens contraire.
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) si et seulement si \(ABCD\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Exemple résolu : construire le quatrième sommet

On donne \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,2)\) et \(C(5\,;\,5)\). Trouve \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.

On calcule \(\overrightarrow{AB}\,(4 - 1\,;\,2 - 1) = (3\,;\,1)\) et on le trace.

On veut \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\) : on part de \(C\) et on recule de 3 carreaux puis on descend de 1, ce qui donne \(D(5 - 3\,;\,5 - 1) = D(2\,;\,4)\).

Vérification : \(\overrightarrow{AD}\,(2 - 1\,;\,4 - 1) = (1\,;\,3)\) et \(\overrightarrow{BC}\,(5 - 4\,;\,5 - 2) = (1\,;\,3)\) sont égaux, donc \(ABCD\) est bien un parallélogramme.

On écrit la condition : \(ABCD\) parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 5 - x_D \\ 5 - y_D \end{pmatrix}\).

On égalise : \(5 - x_D = 3\) donc \(x_D = 2\) ; \(5 - y_D = 1\) donc \(y_D = 4\).

Conclusion : \(D(2\,;\,4)\).

\(\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\). Quelles sont les coordonnées de \(\overrightarrow{NM}\) ?

\((5\,;\,-2)\)
\((-5\,;\,2)\)
\((-2\,;\,5)\)

\(\overrightarrow{NM}\) est l'opposé de \(\overrightarrow{MN}\) : on change le signe des deux coordonnées.

\(E(0\,;\,2)\), \(F(3\,;\,3)\), \(G(4\,;\,6)\), \(H(1\,;\,5)\). Le quadrilatère \(EFGH\) est-il un parallélogramme ?

Oui, car \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}\).
Non, car \(\overrightarrow{EF} \neq \overrightarrow{HG}\).
On ne peut pas savoir sans figure.

\(\overrightarrow{EF}\,(3 - 0\,;\,3 - 2) = (3\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{HG}\,(4 - 1\,;\,6 - 5) = (3\,;\,1)\) : ils sont égaux, donc \(EFGH\) est un parallélogramme.

Erreurs fréquentes

Calculer « départ moins arrivée » : on obtient le vecteur opposé.
Oublier les parenthèses avec un nombre négatif : \(1 - (-2) = 3\), et non \(-1\).
Mélanger l'ordre des coordonnées : l'abscisse (horizontal) vient toujours en premier.
Pour un parallélogramme \(ABCD\), écrire \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) au lieu de \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Récapitulatif

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\) : arrivée moins départ.
Pour représenter \(\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) depuis \(C\) : on arrive en \(D(x_C + a\,;\,y_C + b)\).
Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées ; l'opposé change les deux signes.
\(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Cartes mémo

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

\((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\) : arrivée moins départ.

Signe d'une coordonnée

Positive : droite ou haut. Négative : gauche ou bas.

Point d'arrivée

Depuis \(C\) avec \(\vec{u}(a\,;\,b)\) : \(D(x_C + a\,;\,y_C + b)\).

Vecteurs égaux

Mêmes coordonnées, donc même direction, même sens, même longueur.

Vecteur opposé

\(\overrightarrow{BA}(-a\,;\,-b)\) si \(\overrightarrow{AB}(a\,;\,b)\).

Parallélogramme

\(ABCD\) parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).