Représentation des vecteurs en coordonnées

Introduction

En géométrie, un vecteur peut être représenté par ses coordonnées dans un repère. Cette représentation permet de manipuler facilement les vecteurs à l’aide de calculs numériques.

Le plan et le repère

On considère un repère orthonormé (O, \u00 axes Ox et Oy), dans lequel un point M est défini par ses coordonnées \( (x, y) \).

Représentation d’un vecteur

Le vecteur \(\vec{OM}\), allant de l’origine O au point M, s’écrit en coordonnées :

• \( \textbf{en coordonnées cartésiennes} : \) \(\vec{OM} = (x, y)\)
• \( \textbf{en notation vectorielle} : \) \(\vec{OM} = x \vec{i} + y \vec{j}\), où \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) sont les vecteurs unitaires selon Ox et Oy.

Exemple

Si un point M a pour coordonnées \( (3, 2) \), alors le vecteur \(\vec{OM}\) est représenté par :

• \( \vector{OM} = (3, 2) \)
• \( \vector{OM} = 3\vec{i} + 2\vec{j} \)

Utilité de cette représentation

Elle permet de :

• Calculer la somme ou la différence de vecteurs
• Multiplier un vecteur par un nombre
• Calculer la longueur d’un vecteur (\( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \))