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Représentation des vecteurs en coordonnées

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Introduction

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En géométrie, un vecteur peut être représenté par ses coordonnées dans un repère. Cette représentation permet de manipuler facilement les vecteurs à l’aide de calculs numériques.

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Le plan et le repère

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On considère un repère orthonormé (O, \u00 axes Ox et Oy), dans lequel un point M est défini par ses coordonnées \( (x, y) \).

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Représentation d’un vecteur

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Le vecteur \(\vec{OM}\), allant de l’origine O au point M, s’écrit en coordonnées :

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• \( \textbf{en coordonnées cartésiennes} : \) \(\vec{OM} = (x, y)\)
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• \n\( \textbf{en notation vectorielle} : \) \(\vec{OM} = x \vec{i} + y \vec{j}\), où \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) sont les vecteurs unitaires selon Ox et Oy.
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Exemple

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Si un point M a pour coordonnées \( (3, 2) \), alors le vecteur \(\vec{OM}\) est représenté par :

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• \( \vector{OM} = (3, 2) \)
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• \( \vector{OM} = 3\vec{i} + 2\vec{j} \)
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Utilité de cette représentation

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Elle permet de :

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• Calculer la somme ou la différence de vecteurs
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• Multiplier un vecteur par un nombre
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• Calculer la longueur d’un vecteur (\( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \))
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