Représentation graphique de la fonction exponentielle \( e^x \) et de sa version inverse \( e^{-x} \)

1. Introduction

Les fonctions \( e^x \) et \( e^{-x} \) sont deux expressions importantes en mathématiques, notamment en analyse et en modélisation. Leur étude graphique permet de mieux comprendre leur comportement.

2. La fonction \( e^x \)

La fonction \( e^x \) est une fonction exponentielle dont la courbe est croissante et toujours positive :

• Au point \( x = 0 \), \( e^0 = 1 \).
• Pour \( x o +\infty \), \( e^x o +\infty \).
• Pour \( x o -\infty \), \( e^x o 0 \).

La courbe de \( e^x \) passe par le point \((0, 1)\) et croît rapidement à mesure que \( x \) augmente.

3. La fonction \( e^{-x} \)

La fonction \( e^{-x} \) est la réflexion de \( e^x \) par la droite \( y = 1 \) :

• Au point \( x=0 \), \( e^{0} = 1 \).
• Pour \( x o +\infty \), \( e^{-x} o 0 \).
• Pour \( x o -\infty \), \( e^{-x} o +\infty \).

Sa courbe décroît vers zéro à droite et croît vers l'infini à gauche, en étant symétrique de \( e^x \) par rapport à la droite \( y=1 \).

4. Représentation graphique

Pour tracer ces deux fonctions sur un même graphique :

• Tracez la courbe de \( e^x \) : elle passe par \((0,1)\) et est croissante.
• Tracez la courbe de \( e^{-x} \) : elle passe aussi par \((0,1)\), mais décroît pour \( x > 0 \) et croît pour \( x < 0 \).

Ces deux courbes se croisent au point \((0,1)\).

5. Conclusion

Les graphiques de \( e^x \) et \( e^{-x} \) illustrent leur lien symétrique et leur croissance rapide ou décroissance selon le signe de \( x \). Ces représentations sont utiles pour visualiser leur comportement dans différentes situations mathématiques.