Représentation graphique de \( e^x \) et \( e^{-x} \)

Introduction

La fonction exponentielle \( e^x \) est une fonction mathématique très importante en mathématiques et en sciences. Elle est définie pour tout réel \( x \) et possède des propriétés uniques.

La fonction \( e^x \)

• Pour \( x o +\infty \), \( e^x o +\infty \)
• Pour \( x o -\infty \), \( e^x o 0 \)
• Elle est strictement croissante et toujours positive

La fonction \( e^{-x} \)

• Elle est l'image de \( e^x \) par la transformation \( x \mapsto -x \)
• Pour \( x o +\infty \), \( e^{-x} o 0 \)
• Pour \( x o -\infty \), \( e^{-x} o +\infty \)
• Elle est strictement décroissante

Représentation graphique

Considérons le graphique des deux fonctions \( y = e^x \) et \( y = e^{-x} \). Ces deux courbes sont symétriques par rapport à la droite \( y = 1 \), qui est le point repère où les deux fonctions se croisent.

Conclusion

Le graphique de \( e^x \) montre une croissance rapide vers l'infini pour \( x o +\infty \), et une approche vers 0 pour \( x o -\infty \). Celui de \( e^{-x} \) diminue vers 0 pour \( x o +\infty \) et croît vers l'infini pour \( x o -\infty \). Leur symétrie par rapport à la droite horizontale \( y=1 \) permet de visualiser leur lien étroit.