Vecteurs : représentation graphique

Un vecteur est un déplacement : on le dessine par une flèche et on le lit avec deux nombres, « combien vers la droite » et « combien vers le haut ».

Objectifs

Reconnaître les trois caractéristiques d'un vecteur : direction, sens et longueur.
Tracer un vecteur dans un repère à partir de ses coordonnées.
Lire et calculer les coordonnées d'un vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Reconnaître deux vecteurs égaux, opposés, et le vecteur nul.

1. Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur représente un déplacement. On le dessine par une flèche allant d'un point \(A\) (l'origine) à un point \(B\) (l'extrémité). On le note \(\overrightarrow{AB}\).

Un vecteur a trois caractéristiques :

sa direction : celle de la droite \((AB)\), appelée droite support ;
son sens : de \(A\) vers \(B\), indiqué par la pointe de la flèche ;
sa longueur (ou norme) : la longueur du segment \([AB]\).

Retrouve les parties d'un vecteur sur le dessin : place chaque nom au bon endroit.

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) ont :

la même direction et le même sens
la même direction mais des sens contraires
des directions différentes

Ils sont portés par la même droite \((AB)\) et ont la même longueur, mais l'un va de \(A\) vers \(B\), l'autre de \(B\) vers \(A\).

2. Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Dans un repère, le déplacement de \(A\) vers \(B\) se décompose en un déplacement horizontal (abscisse) et un déplacement vertical (ordonnée). Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors :

\[ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \]

Tracer un vecteur à partir de ses coordonnées

On veut tracer le vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) en partant du point \(A(1\,;\,2)\). Suis la construction.

Étape 1 : on place le point de départ A, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2.

Étape 2 : la première coordonnée vaut 4, on avance de 4 carreaux vers la droite.

Étape 3 : la deuxième coordonnée vaut 2, on monte de 2 carreaux et on place l'extrémité B(5 ; 2+2), soit B(5 ; 4).

Étape 4 : on trace la flèche de A vers B : c'est un représentant du vecteur u.

Exemple résolu : calculer des coordonnées

Soit \(E(-1\,;\,3)\) et \(F(2\,;\,-2)\). Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{EF}\). Cherche d'abord !

Étape 1 : on écrit la formule « arrivée moins départ » : \(\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} x_F - x_E \\ y_F - y_E \end{pmatrix}\).

Étape 2 : abscisse : \(x_F - x_E = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3\).

Étape 3 : ordonnée : \(y_F - y_E = -2 - 3 = -5\).

Étape 4 : conclusion : \(\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\) : 3 carreaux vers la droite, 5 carreaux vers le bas.

Lire des coordonnées sur un dessin

Sur un quadrillage, on compte les carreaux de l'origine vers l'extrémité : d'abord horizontalement, puis verticalement, avec le signe.

Avec \(A(2\,;\,5)\) et \(B(6\,;\,1)\), quelles sont les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) ?

\(\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix}\)

\(6 - 2 = 4\) et \(1 - 5 = -4\) : on va de 4 vers la droite et de 4 vers le bas.

On part de \(M(0\,;\,1)\) et on trace \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Où arrive-t-on ?

\((3\,;\,3)\)
\((-3\,;\,-1)\)
\((-3\,;\,3)\)

\(0 + (-3) = -3\) et \(1 + 2 = 3\) : l'extrémité est \((-3\,;\,3)\).

3. Vecteurs égaux, opposés et vecteur nul

Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur, autrement dit les mêmes coordonnées. Un même vecteur peut donc être dessiné à plusieurs endroits : chaque flèche est un représentant.

Sur la figure : \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,2)\), \(C(2\,;\,4)\), \(D(5\,;\,5)\). On vérifie : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 5-2 \\ 5-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Mêmes coordonnées : les vecteurs sont égaux.

Vecteurs opposés et vecteur nul

\(\overrightarrow{BA}\) est l'opposé de \(\overrightarrow{AB}\) : même direction, même longueur, sens contraire. Ses coordonnées sont les opposées : si \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\), alors \(\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{AA}\) est le vecteur nul, noté \(\overrightarrow{0}\) : aucun déplacement, coordonnées \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Exemple résolu : trouver un point

Avec \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,2)\) et \(G(-2\,;\,0)\), trouve le point \(H\) tel que \(\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{AB}\).

Voir la solution

On sait que \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Il faut donc partir de \(G\) et faire le même déplacement :

\[ x_H = -2 + 3 = 1 \qquad y_H = 0 + 1 = 1 \]

Donc \(H(1\,;\,1)\). Vérification : \(\overrightarrow{GH}\begin{pmatrix} 1-(-2) \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). C'est juste.

Bonus : la longueur d'un vecteur

Le déplacement horizontal et le déplacement vertical forment un angle droit : la longueur se calcule avec le théorème de Pythagore. Pour \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) :

\[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Si \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\), quelles sont les coordonnées de \(\overrightarrow{BA}\) ?

\(\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Le vecteur opposé a des coordonnées opposées : on change le signe de chacune.

\(\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Ces vecteurs sont-ils égaux ?

Oui, ce sont les mêmes nombres
Oui, ils ont la même longueur
Non, les coordonnées ne sont pas dans le même ordre

Égaux veut dire mêmes coordonnées, dans le même ordre. Ici les déplacements sont différents (2 à droite et 3 en haut, contre 3 à droite et 2 en haut).

Méthode : tracer un vecteur dans un repère

flowchart LR
  A[Placer le point de depart] --> B[Avancer horizontalement de la 1re coordonnee]
  B --> C[Monter ou descendre de la 2e coordonnee]
  C --> D[Placer le point d arrivee]
  D --> E[Tracer la fleche]

Erreurs fréquentes

Inverser l'ordre de calcul : on fait toujours extrémité moins origine.
Oublier le signe : une coordonnée négative signifie vers la gauche ou vers le bas.
Oublier la flèche : sans pointe, on a un segment, pas un vecteur.
Croire que deux vecteurs de même longueur sont égaux : il faut aussi la même direction et le même sens.
Mal nommer le parallélogramme : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) donne \(ABDC\), pas \(ABCD\).

Récapitulatif

Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est un déplacement : direction, sens, longueur.
Coordonnées : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).
Vecteurs égaux : mêmes coordonnées ; \(ABDC\) est un parallélogramme.
Opposé : coordonnées opposées ; vecteur nul : \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Déplacement de \(A\) vers \(B\), défini par une direction, un sens et une longueur.

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

\(\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\) : arrivée moins départ.

Vecteurs égaux

Mêmes coordonnées ; \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) équivaut à \(ABDC\) parallélogramme.

Vecteur opposé

\(\overrightarrow{BA}\) : même direction et longueur que \(\overrightarrow{AB}\), sens contraire, coordonnées opposées.

Vecteur nul

\(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\), de coordonnées \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).