Objectifs

• Écrire une représentation paramétrique d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur, ou de deux points.
• Lire un point et un vecteur directeur sur une représentation paramétrique.
• Tester si un point appartient à une droite.
• Étudier la position relative de deux droites et l'intersection d'une droite et d'un plan.

1. Point de départ et direction

Notions clés

Dans un repère \((O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) de l'espace, soit \(d\) la droite passant par \(A(x_A ; y_A ; z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) non nul.

Un point \(M(x ; y ; z)\) appartient à \(d\) si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}\). En coordonnées :

Ce système est une représentation paramétrique de \(d\) ; le réel \(t\) est le paramètre. À chaque valeur de \(t\) correspond un seul point de la droite, et chaque point de la droite correspond à une valeur de \(t\).

Manipule dans le plan

Dans le plan, la même idée donne la droite passant par \(A(x_A ; y_A)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(a ; b)\). Avec \(a \neq 0\), on peut éliminer \(t\) : \(y = y_A + \frac{b}{a}(x - x_A)\). Bouge les curseurs : changer A fait glisser la droite, changer \(a\) et \(b\) la fait tourner.

2. Droite passant par deux points et appartenance d'un point

Exemple résolu 1

Soient \(A(1 ; 2 ; -1)\) et \(B(3 ; -1 ; 4)\). Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\), puis dire si \(C(5 ; -4 ; 9)\) et \(D(5 ; -4 ; 8)\) appartiennent à \((AB)\). Cherche d'abord.

À toi de jouer

Donne une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(E(0 ; 1 ; 2)\) et de vecteur directeur \(\vec{v}(1 ; 1 ; -2)\), puis dis si \(F(2 ; 3 ; -2)\) appartient à \(\Delta\).

3. Position relative de deux droites

Soient \(d\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) et \(d'\) de vecteur directeur \(\vec{u'}\).

• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{u'}\) sont colinéaires, les droites sont parallèles (strictement parallèles ou confondues : on teste si un point de \(d\) est sur \(d'\)).
• Sinon, on résout le système formé en égalant les coordonnées, avec deux paramètres différents \(t\) et \(s\) :
  • s'il a une solution, les droites sont sécantes en un point ;
  • s'il n'en a pas, elles sont non coplanaires.

flowchart TD
  A[Deux droites d et d prime] --> B{Vecteurs directeurs colineaires}
  B -->|oui| C{Un point de d est sur d prime}
  C -->|oui| D[Confondues]
  C -->|non| E[Strictement paralleles]
  B -->|non| F{Le systeme en t et s a une solution}
  F -->|oui| G[Secantes]
  F -->|non| H[Non coplanaires]

Exemple résolu 2

On reprend \((AB) : x = 1 + 2t,\ y = 2 - 3t,\ z = -1 + 5t\) et \(d_1 : x = 3 + s,\ y = -1 + 2s,\ z = 4 - s\). Étudier leur position relative. Cherche d'abord.

À toi de jouer

Étudie la position relative de \((AB)\) et de \(d_2 : x = 2 + s,\ y = 1 + s,\ z = 3 - 2s\).

4. Intersection d'une droite et d'un plan

Soit \(P\) un plan d'équation cartésienne \(\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0\), de vecteur normal \(\vec{n}(\alpha ; \beta ; \gamma)\). On remplace \(x\), \(y\), \(z\) par leurs expressions en \(t\) dans l'équation du plan :

• une seule solution \(t\) : la droite coupe le plan en un point ;
• aucune solution : la droite est strictement parallèle au plan ;
• tout \(t\) convient : la droite est contenue dans le plan.

La droite est parallèle au plan (ou contenue dans le plan) exactement quand \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\).

Exemple résolu 3

Trouver l'intersection de \((AB)\) avec le plan \(P : 2x - y + z - 3 = 0\). Cherche d'abord.

Erreurs fréquentes

• Confondre le point (termes constants) et le vecteur directeur (coefficients de \(t\)).
• Oublier qu'une coordonnée sans \(t\) correspond à un coefficient \(0\) dans le vecteur directeur.
• Pour tester un point, trouver \(t\) avec une équation et oublier de vérifier les deux autres.
• Utiliser le même paramètre pour deux droites différentes.
• Croire que deux droites non parallèles de l'espace sont toujours sécantes.

Récapitulatif

• \(d\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}(a ; b ; c)\) : \(x = x_A + at,\ y = y_A + bt,\ z = z_A + ct\), \(t \in \mathbb{R}\).
• Par deux points \(A\) et \(B\) : on prend \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\).
• \(M \in d\) si un même \(t\) vérifie les trois équations.
• Deux droites : parallèles (vecteurs colinéaires), sécantes (système en \(t\) et \(s\) soluble) ou non coplanaires.
• Droite et plan : on remplace dans l'équation du plan et on résout en \(t\).

Cartes mémo