Représentation paramétrique des droites dans l’espace

Introduction

Dans le plan, une droite peut être représentée par une équation cartésienne ou par une équation paramétrique. Dans l’espace, la représentation d’une droite se fait généralement par une équation paramétrique.

Définition

Une droite dans l’espace est représentée par une équation paramétrique associant un paramètre t à un point quelconque M(t) de la droite.

Forme générale

Soit un point O appartenant à la droite, appelé point d’origine ou point d’appui, et u un vecteur directeur non nul. La représentation paramétrique d’une droite (d) passant par O est donnée par :

M(t) = O + t * u,

où :

• O est un point de la droite (coordonnées (x_0, y_0, z_0))
• u est le vecteur directeur (u_x, u_y, u_z)
• t est un réel appelé paramètre

Expression explicite

Les coordonnées du point M(t) sont :

• x(t) = x_0 + t * u_x
• y(t) = y_0 + t * u_y
• z(t) = z_0 + t * u_z

Exemple

Soit un point O(1, 2, 3) et un vecteur u(4, -1, 2). La droite passant par O avec ce vecteur directeur est donnée par :

M(t) = (1, 2, 3) + t * (4, -1, 2)

Ce qui donne :

• x(t) = 1 + 4t
• y(t) = 2 - t
• z(t) = 3 + 2t

Résumé

La représentation paramétrique permet d'exprimer tous les points d'une droite dans l’espace à partir d’un point d’origine et d’un vecteur directeur, en faisant varier un paramètre t.