Représentation paramétrique des droites en espace

Introduction

En géométrie dans l’espace, une droite peut être représentée de différentes manières. La représentation paramétrique est une méthode très utilisée pour décrire une droite à partir d’un point et d’une direction.

Définition

Une droite dans l’espace peut être représentée par une équation paramétrique qui exprime toutes ses points en fonction d’un paramètre \( t \).

Forme paramétrique d'une droite

Soit D une droite passant par un point \(\mathbf{A}(x_A, y_A, z_A)\) et de vecteur directeur \(ec{u} = (u_x, u_y, u_z)\). La représentation paramétrique de D est :

    \[ egin{cases} \quad x = x_A + u_x t \\ y = y_A + u_y t \\ z = z_A + u_z t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \]

où \( t \) est un paramètre réel qui fait varier naturally pour parcourir tous les points de la droite.

Exemple

Considérons la droite passant par le point \(\mathbf{A}(1, 2, 3)\) et de vecteur directeur \(ec{u} = (4, -1, 2)\). Sa représentation paramétrique sera :

    \[ egin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \]

Utilisation

Cette représentation permet :

• De déterminer tous les points d’une droite en faisant varier \( t \).
• De résoudre des problèmes géométriques liés à la position relative de droites, plans, etc.

Remarque

La direction d’une droite n’est pas modifiée si l’on change le paramètre \( t \) en \( -t \), ce qui correspond à parcourir la droite dans le sens inverse.

En résumé, la représentation paramétrique fournit une description claire et efficace d’une droite dans l’espace.