Représentation vectorielle en géométrie du plan

La représentation vectorielle permet de désigner un point ou un déplacement dans le plan par un vecteur.

Objectifs

Comprendre comment associer un vecteur à un point ou un déplacement dans le plan.
Savoir écrire un vecteur sous forme vectorielle.
Représenter graphiquement un vecteur à partir de ses coordonnées.

Notions clés

Point du plan : un emplacement défini par ses coordonnées \( (x, y) \).
Vecteur : un outil pour représenter un déplacement ou une direction, noté généralement \(\vec{u}\).
Coordonnées d’un vecteur : si \(\vec{u}\) part de l’origine \((0,0)\) et arrive au point \((x, y)\), alors \(\vec{u} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}\).

Représentation graphique d’un vecteur

Un vecteur \(\vec{u}\) est représenté par une flèche dans le plan, partant de l’origine ou d’un point donné, et se terminant au point ayant pour coordonnées \((x, y)\). La flèche indique la direction et la longueur correspond au module du vecteur, \(\left| \vec{u} \right| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Exemple

Considérons le vecteur \(\vec{u}\) tel que ses coordonnées soient \(\begin{bmatrix} 3 \ -4 \end{bmatrix}\). Sa représentation graphique est une flèche partant de l’origine \((0,0)\) jusqu’au point \((3, -4)\).

Écriture d’un vecteur

On peut écrire un vecteur à partir de ses coordonnées sous la forme :

\[ \vec{u} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \]

où \(x\) et \(y\) sont des nombres réels.

Exemple

Le vecteur \(\vec{v}\) ayant pour coordonnées \(\begin{bmatrix} -2 \ 5 \end{bmatrix}\) se note : \(\vec{v} = \begin{bmatrix} -2 \ 5 \end{bmatrix}\).

Représentation graphique concrète

Pour représenter un vecteur graphiquement, tu peux suivre ces étapes :

Trace un repère orthogonal avec oxid et ordonnées.

Place le point d’origine, généralement \((0,0)\).

Dessine une flèche allant de l’origine au point \((x, y)\), où \(x\) et \(y\) sont les coordonnées du vecteur.

N’oublie pas d’ajouter une flèche à l’extrémité pour indiquer la direction.

Voir la solution

Pour représenter \(\vec{u} = \begin{bmatrix} 3 \ -4 \end{bmatrix}\) :

Trace le repère.
Place le point \((3, -4)\).
Trace la flèche de \((0,0)\) à \((3, -4)\).

Mini-Qcm

Quelle est la représentation correcte d’un vecteur partant de l’origine jusqu’à \((2, 5)\) ?

\(\vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \ 5 \end{bmatrix}\)
\(\vec{u} = \begin{bmatrix} 5 \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\vec{u} = \begin{bmatrix} -2 \ -5 \end{bmatrix}\)

La bonne réponse est la première, car elle correspond aux coordonnées du point d’arrivée.

Résumé mnémotechnique

Vecteur

Représentation par une flèche indiquant une direction et une longueur.

Coordonnées

Deux nombres (x, y) qui donnent la position du point ou la direction du vecteur.

Longueur

Module du vecteur : \(|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).