Représentations de solides : vues, patrons, maquettes
Représentations de solides : vues, patrons, maquettes
Un solide vit en 3D, mais on doit le montrer sur une feuille plate : on le dessine en perspective, on regarde ses vues, on le déplie en patron, ou on le reproduit en petit avec une maquette à l'échelle.
Objectifs
- Reconnaître et nommer les solides usuels : pavé, cube, prisme, cylindre, pyramide, cône, boule.
- Dessiner un solide en perspective cavalière.
- Associer un solide à ses vues de face, de dessus et de côté.
- Construire et reconnaître un patron.
- Utiliser une échelle pour une maquette : longueurs multipliées par \(k\), aires par \(k^2\), volumes par \(k^3\).
1. Les solides et la perspective cavalière
Notions clés
- Polyèdres (faces planes) : pavé droit, cube, prisme droit, pyramide.
- Solides de révolution (faces courbes) : cylindre, cône, boule.
- Vocabulaire : faces, arêtes (segments où deux faces se rencontrent), sommets.
En perspective cavalière :
- la face avant est dessinée en vraie grandeur ;
- les arêtes « fuyantes » (qui partent vers l'arrière) sont parallèles entre elles et réduites (souvent de moitié) ;
- les arêtes cachées sont en pointillés ;
- deux arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
On trace la face avant comme on la voit de face, sans déformation.
On trace les fuyantes : parallèles, inclinées (ici à 45°) et réduites de moitié.
On ferme la face arrière ; les arêtes qu'on ne verrait pas sont en pointillés.
Légende cette pyramide à base carrée : touche chaque zone et place le bon mot.
En perspective cavalière, comment dessine-t-on une arête cachée ?
2. Les vues d'un solide
Notions clés
Une vue est ce que l'on voit d'un solide en le regardant bien en face d'une direction : vue de face, vue de dessus, vue de côté (gauche ou droite). Une vue est une figure plane, sans perspective.
Cherche d'abord : dessine sur ton cahier la vue de face et la vue de dessus d'une case formée d'un cylindre surmonté d'un cône un peu plus large.
Voir la solution
Vue de face : un rectangle (le mur) surmonté d'un triangle (le toit). Vue de dessus : un grand disque (le toit), avec un point au centre (le sommet du cône) ; le mur, caché sous le toit qui dépasse, peut être indiqué en pointillés.
Un solide a un disque en vue de dessus et un triangle en vue de face. Quel est ce solide ?
3. Les patrons
Notions clés
Un patron d'un solide est une figure plane, d'un seul morceau, qui permet après pliage de fabriquer ce solide sans que deux faces se superposent.
- Patron d'un cube : 6 carrés identiques (il existe 11 patrons différents du cube).
- Patron d'un pavé droit : 6 rectangles, égaux deux à deux.
- Patron d'un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) : deux disques de rayon \(r\) et un rectangle de côtés \(h\) et \(2\pi r\).
- Patron d'une pyramide : la base et des triangles (autant que de côtés de la base).
Voici un patron de cube. Imagine le pliage : quelles faces se retrouvent face à face ?
Une fois le cube plié, quelle face est opposée à la face 2 ?
Exemple résolu : le patron d'une boîte de conserve
Une boîte de tomate concentrée a la forme d'un cylindre de rayon \(3\) cm et de hauteur \(5\) cm. Quelles sont les dimensions du rectangle de son patron ?
4. Les maquettes et les échelles
Notions clés
Une maquette est une réduction (ou un agrandissement) d'un objet, dans laquelle toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre \(k\), appelé coefficient (ou échelle). Si \(k < 1\), c'est une réduction ; si \(k > 1\), un agrandissement.
Fais varier \(c\) (une longueur, une aire et un volume de départ égaux à \(c\)) et observe ce que deviennent la longueur (droite), l'aire et le volume quand on multiplie les dimensions par \(k\) (en abscisse).
Exemple résolu : la maquette d'une salle de classe
Une salle de classe de Lomé a la forme d'un pavé droit de \(8\) m sur \(6\) m et \(3\) m de haut. Cherche d'abord les dimensions et le volume de sa maquette à l'échelle \(\frac{1}{50}\).
Voir la solution
On convertit en centimètres puis on divise par \(50\) :
\[ \begin{aligned} 800 \div 50 &= 16 \text{ cm}, \\ 600 \div 50 &= 12 \text{ cm}, \\ 300 \div 50 &= 6 \text{ cm}. \end{aligned} \]Volume de la maquette : \(16 \times 12 \times 6 = 1152\) cm³, soit \(V = 1152 \text{ cm}^3\).
Vérification avec \(k^3\) : le volume réel est \(8 \times 6 \times 3 = 144\) m³ \(= 144\,000\,000\) cm³ et \[ 144\,000\,000 \div 125\,000 = 1152 \text{ cm}^3. \]
On double toutes les dimensions d'une boîte. Son volume est multiplié par :
Erreurs fréquentes
- Dessiner les fuyantes en vraie grandeur ou non parallèles en perspective cavalière.
- Oublier les arêtes cachées, ou les dessiner en trait plein.
- Croire qu'une seule vue suffit à identifier un solide.
- Prendre le diamètre au lieu du périmètre pour le rectangle d'un patron de cylindre.
- Multiplier un volume par \(k\) au lieu de \(k^3\) dans une maquette.
Récapitulatif
- Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur, fuyantes parallèles et réduites, arêtes cachées en pointillés.
- Vues : de face, de dessus, de côté ; figures planes à combiner.
- Patron : figure plane d'un seul tenant qui se plie en solide.
- Maquette de coefficient \(k\) : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\).
Teste tes connaissances sur ce cours
Crée ton compte gratuitement pour accéder aux quiz associés et suivre ta progression.