Représentations et équations dans l’espace : Projection orthogonale

Introduction

Dans l’espace, il est souvent utile de projeter un point ou un objet sur une droite ou un plan afin de simplifier leur étude ou de répondre à des questions géométriques. La projection orthogonale est la projection qui minimise la distance entre le point et sa image projetée, en étant perpendiculaire à la droite ou au plan concerné.

1. Projection orthogonale sur une droite

Définition

Si \( P \) est un point de l’espace et \( (d) \) une droite, la projection orthogonale de \( P \) sur \( (d) \) est le point \( P' \) sur \( (d) \) tel que le segment \(\overline{PP'}\) est perpendiculaire à \( (d) \).

Matériellement

• Représenter \( (d) \) par une droite \(\Delta\) dans un repère spatial.
• Exprimer \( P \) en coordonnées \((x_P, y_P, z_P)\) et paramétrer \( (d) \).
• Calculer la projection \( P' \) en résolvant l’équation de \(\overline{PP'}\) perpendiculaire à \( (d) \).

Formule

Si \( (d) \) est paramétrée par \( \mathbf{r}_d(t) = \mathbf{o} + t \mathbf{u} \), où \(\mathbf{o}\) est un point de \( (d) \) et \(\mathbf{u}\) un vecteur directeur, alors la projection \( P' \) de \( P \) est donnée par :

\[ oxed{\mathbf{P'} = \mathbf{o} + rac{(\overrightarrow{OP} \cdot \mathbf{u})}{\|\mathbf{u}\|^2} \mathbf{u} }\]

2. Projection orthogonale sur un plan

Définition

Pour un point \( P \) et un plan \( (\pi) \), la projection orthogonale est le point \( P' \) situé sur \( (\pi) \) tel que \(\overline{PP'}\) soit perpendiculaire à \( (\pi) \).

Matériellement

• Le plan \( (\pi) \) est défini par une équation de la forme \( ax + by + cz + d = 0 \).
• Si \( P = (x_P, y_P, z_P) \), alors la projection \( P' \) est calculée en utilisant la formule :

Formule

\[ oxed{ P' = P - rac{ax_P + by_P + cz_P + d}{a^2 + b^2 + c^2} (a, b, c) }\]

Cette formule donne le point \( P' \) en coordonnées en utilisant la normal \( (a, b, c) \) au plan.

3. Résumé et applications

• Projection orthogonale permet d’étudier la position relative de points, segments, et figures dans l’espace.
• Utilisée pour déterminer des positions, définir des distances ou résoudre des problèmes de géométrie analytique dans l’espace.

Conclusion

Maîtriser la projection orthogonale dans l’espace est essentielle pour la résolution de nombreux problèmes géométriques, notamment dans le cadre de la géométrie dans l’espace en Terminale.