Représentations et équations dans l’espace : Projection orthogonale sur une droite ou un plan

Introduction

Dans l'espace, il est souvent utile de représenter un point ou une figure par sa projection orthogonale sur une droite ou un plan. Cela permet de simplifier les problèmes et de déterminer des coordonnées ou des équations associées.

Projection orthogonale sur une droite

Définition

Soit une droite \(\Delta\) dans l’espace et un point \(P\). La projection orthogonale de \(P\) sur \(\Delta\) est le point \(P'\) situé sur \(\Delta\) tel que le segment \(\overline{PP'}\) est perpendiculaire à \(\Delta\).

Représentation

Si la droite \(\Delta\) est paramétrée par : \[\] egin{cases} x = x_0 + t u_x \ y = y_0 + t u_y \ z = z_0 + t u_z \end{cases}\] avec un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) et un vecteur directeur \(ec{u} = (u_x, u_y, u_z)\), alors la projection orthogonale de \(P(x_P, y_P, z_P)\) sur \(\Delta\) est : \[\] \[P' = A + \lambda ec{u}\] où \(\lambda\) est donné par : \[ \lambda = rac{ec{AP} \cdot ec{u}}{\|ec{u}\|^2}\] avec \(ec{AP} = (x_P - x_0, y_P - y_0, z_P - z_0)\).

Projection orthogonale sur un plan

Définition

Soit un plan \(\Pi\) dans l’espace et un point \(P\). La projection orthogonale de \(P\) sur \(\Pi\) est le point \(P'\) du plan tel que le segment \(\overline{PP'}\) est perpendiculaire à \(\Pi\).

Représentation

Si le plan \(\Pi\) est défini par une équation :

\[a x + b y + c z + d = 0\]

et le point \(P(x_P, y_P, z_P)\), alors la projection orthogonale \(P'\) est donnée par :

\[ P' = (x', y', z') \] où :

\[ egin{cases}x' = x_P - rac{a (a x_P + b y_P + c z_P + d)}{a^2 + b^2 + c^2} \[6pt]\ y' = y_P - rac{b (a x_P + b y_P + c z_P + d)}{a^2 + b^2 + c^2} \[6pt]\ z' = z_P - rac{c (a x_P + b y_P + c z_P + d)}{a^2 + b^2 + c^2} \end{cases} \]

Applications et exemples

Ces projections permettent de résoudre des problèmes d’intersection, de détermination de distances ou de simplification de représentations dans l’espace.

Résumé

• La projection orthogonale consiste à « ramener » un point sur une droite ou un plan via une perpendicularité.
• Les formules impliquent souvent des vecteurs, des coordonnées et des calculs scalaires.