Représentations et équations dans l’espace : Projeté orthogonal sur une droite ou un plan

Introduction

Dans l’espace, la projection orthogonale d’un point sur une droite ou un plan consiste à tracer une perpendiculaire depuis ce point jusqu’à cette droite ou ce plan. Cette opération permet de déterminer la position relative d’un point par rapport à une droite ou un plan, en utilisant des coordonnées ou des équations.

Projeté orthogonal sur une droite

1. Définition : La projection orthogonale d’un point M sur une droite d est le point M' situé sur d tel que (MM’) est perpendiculaire à d.
2. Représentation : Si O est un point de référence sur d et u un vecteur directeur de d, alors le point M' de projection est donné par :
   • Combinaison de O et u pour trouver la coordonnées de M' :

     <M'> = <O> + < <M - O>, u> / <u, u> * u

Projeté orthogonal sur un plan

1. Définition : La projection orthogonale d’un point M sur un plan π est le point M' tel que (MM’) est perpendiculaire au plan π.
2. Représentation : Si O est un point de référence dans le plan, et n un vecteur normal à π, alors le point M' est obtenu en résolvant :

   • <M' - M, n> = 0

   équation qui donne la position de M'.

Exemples d’utilisation

• Calculer la projection orthogonale d’un point sur une droite ou un plan pour déterminer ses coordonnées relatives.
• Utiliser ces projections pour résoudre des problèmes géométriques dans l’espace, notamment en perspective ou en modélisation 3D.

Conclusion

La projection orthogonale est un outil fondamental pour analyser les positions dans l’espace, permettre de simplifier la résolution d’équations et de représenter graphiquement des relations spatiales.