Représentations et équations dans l’espace : Traduction géométrique en équations linéaires

Introduction

En géométrie dans l’espace, les objets tels que plans et droites peuvent être représentés par des équations linéaires. La traduction géométrique consiste à passer d’une description graphique ou géométrique à une expression algébrique.

1. Représentation d’une droite par une équation

Une droite dans l’espace peut être définie par un point \(A(x_A, y_A, z_A)\) et un vecteur directeur \(ec{u} = (u_x, u_y, u_z)\).

Son équation paramétrique s’écrit :

 x = x_A + t u_x 
 y = y_A + t u_y 
 z = z_A + t u_z \quad 	ext{avec } t \in \mathbb{R}\) 

Elle peut aussi être exprimée en forme cartésienne sous la forme d’un système d’équations linéaires :

\[rac{x - x_A}{u_x} = rac{y - y_A}{u_y} = rac{z - z_A}{u_z}\]

Ce système est valable si tous les dénominateurs sont différents de zéro. Sinon, la droite peut être parallèle à un ou plusieurs plans de coordonnées.

2. Représentation d’un plan par une équation

Un plan est défini par un point \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) et un vecteur normal \(ec{n} = (a, b, c)\).

L’équation cartésienne du plan s’écrit :

\[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\]

Elle peut aussi s’écrire sous la forme :

\[ax + by + cz + d = 0\]

où \(d = - (a x_0 + b y_0 + c z_0)\).

3. Traduction géométrique en équations linéaires

Pour passer d’une description géométrique à des équations, il faut :

• Identifier un point et un vecteur (pour une droite) ou un point et un vecteur normal (pour un plan).
• Transcrire la relation géométrique en équation à l’aide des coordonnées ou des vecteurs.

Exemple : La droite passant par \(A(1, 2, 3)\) et dont le vecteur directeur est \(ec{u} = (2, -1, 3)\) a pour équations paramétriques :

 x = 1 + 2t 
 y = 2 - t 
 z = 3 + 3t 

En forme cartésienne (si \(u_x, u_y, u_z\) sont différents de zéro), en utilisant la relation :

\[rac{x - 1}{2} = rac{y - 2}{-1} = rac{z - 3}{3}\]

Vous pouvez écrire la condition d’appartenance à la droite en résolvant ces équations simultanément.

Conclusion

La traduction géométrique en équations linéaires est une étape essentielle pour analyser et manipuler des objets dans l’espace à l’aide de l’algèbre. Elle permet de passer de représentations graphiques à des formules exploitables en calculs ou en résolution d’équations.