Représentations et équations dans l’espace : Traduction géométrique en équations linéaires

Introduction

Dans l’espace, une droite peut être représentée par une équation linéaire lorsque cette dernière est orientée selon un point et une direction. La traduction géométrique consiste à passer d’une description géométrique à une équation algebraïque.

Représentation d’une droite dans l’espace

Une droite peut être définie par un point \(A(x_A, y_A, z_A)\) qu’elle contient, et par un vecteur directeur \( ec{u} = (u_x, u_y, u_z) \) qui indique sa direction.

Forme paramétrique

Pour tout point \(M(x, y, z)\) appartenant à cette droite, il existe un paramètre \(t\) tel que :

• \( x = x_A + u_x t \)
• \( y = y_A + u_y t \)
• \( z = z_A + u_z t \)

Forme cartésienne ou équation linéaire

La traduction géométrique consiste à éliminer le paramètre \(t\). On obtient ainsi un système d’équations linéaires :

\[ egin{cases} rac{x - x_A}{u_x} = rac{y - y_A}{u_y} = rac{z - z_A}{u_z} \end{cases} \]

où chaque fraction doit être égale. La forme développée est :

• \( u_y (x - x_A) = u_x (y - y_A) \)
• \( u_z (x - x_A) = u_x (z - z_A) \)

Conclusion

La traduction géométrique consiste à passer d’une représentation paramétrique à une représentation cartésienne par équations linéaires, qui décrivent la droite dans l’espace. Ces équations sont très utiles pour déterminer si un point appartient à une droite ou pour calculer l’intersection entre deux droites.