Représentations graphiques en statistiques : Diagrammes et Histogrammes – Mathematiques

Comprendre et interpréter les diagrammes et histogrammes pour décrire une distribution de données.

Objectifs

Savoir lire un diagramme en barres et un histogramme.
Calculer des fréquences simples et des fréquences relatives.
Interpréter les hauteurs des bars et déduire des informations sur la distribution (tendance, dispersion).
Connaître les bases pour construire un histogramme à partir d’un jeu de données.

Notions clés

Diagramme en barres

Le diagramme en barres représente des catégories distinctes. Chaque barre indique une fréquence (ou une proportion) pour une catégorie donnée.

Formule utile: la fréquence relative d’une catégorie i est \(f_i = \frac{n_i}{N}\), où \(n_i\) est le nombre d’observations de la catégorie i et \(N\) le total des observations.

Remarque: les diagrammes en barres ne regroupent pas les valeurs les une après les autres comme les histogrammes; ils comparent des catégories distinctes.

Histogramme

L’histogramme est utilisé pour une variable quantitative continue. Les données sont regroupées en classes (ou intervalles) et les barres contiguës reflètent le nombre ou la fréquence dans chaque classe.

Pour un histogramme, si l’on travaille avec des fréquences, la hauteur de chaque barre peut représenter la fréquence ou la densité. L’aire des barres de l’histogramme peut alors être interprétée comme une probabilité lorsque l’échelle est adaptée.

Formule: soit une classe i de largeur \(w_i\) et une hauteur \(h_i\). L’aire de la barre est \(A_i = h_i \cdot w_i\). Si l’aire totale est égale à 1, alors \(A_i\) représente une probabilité.

Fréquences et données

Pour une série de données de taille \(N\), on note \(n_i\) le nombre d’observations dans la classe i et \(f_i = \frac{n_i}{N}\) la fréquence associée à cette classe.

Exemple résolu

Dataset (notes sur 20): [8, 12, 9, 7, 15, 11, 13, 14, 10, 9, 12, 16, 18, 7, 9, 11]

On regroupe en classes de largeur 5: [5-9], [10-14], [15-19].

Calculs (félicitations si vous suivez):

On compte les observations par classe:

N_1 = 6 (5-9), N_2 = 7 (10-14), N_3 = 3 (15-19).

Calcul des fréquences relatives: \[ f_1 = \frac{6}{16} = 0.375, \quad f_2 = \frac{7}{16} = 0.4375, \quad f_3 = \frac{3}{16} = 0.1875 \]

Voir la solution

Étape 1: regrouper les données par classes de largeur 5.

Étape 2: compter les observations dans chaque classe pour obtenir n_i.

Étape 3: calculer N = total des observations et f_i = n_i / N.

Étape 1: classe 5-9 contient 6 observations.

Étape 2: classe 10-14 contient 7 observations.

Étape 3: classe 15-19 contient 3 observations.

Quel énoncé est vrai pour un histogramme construit avec des classes de largeur identique ?

Les hauteurs des barres dépendent de l’ordre des données.
Les hauteurs des barres reflètent le nombre d’observations dans chaque classe.
Les barres doivent toujours avoir la même largeur, quelle que soit la classe.

C’est la réponse B: les hauteurs représentent les fréquences ou les densités propres à chaque classe.

Cartes mémo

Diagramme en barres

Représente des catégories; hauteur = fréquence ou effectif.

Histogramme

Barres contiguës pour une variable continue; idée: distribution des données par classes.

Fréquence relative

\(f_i = \frac{n_i}{N}\) ; somme des \(f_i\) sur toutes les classes = 1.

Aire et probabilité

Pour un histogramme, \(A_i = h_i \cdot w_i\); si l’aire totale est 1, chaque aire est une probabilité.

Schéma: histogramme simplifié

Récapitulatif

Diagrammes en barres: comparaison de catégories distinctes.
Histogrammes: distribution des valeurs continues par classes contiguës.
Fréquences et probabilités: \(f_i = \frac{n_i}{N}\) et somme \(\sum f_i = 1\).