Résolution d'équations du premier degré

Résoudre une équation, c'est trouver le nombre caché \(x\) en gardant toujours la balance en équilibre : ce que l'on fait d'un côté, on le fait aussi de l'autre.

Objectifs

Connaître le vocabulaire : équation, inconnue, membre, solution.
Vérifier si un nombre est solution d'une équation.
Résoudre une équation du premier degré à une inconnue en utilisant les règles d'égalité.
Mettre un petit problème de la vie courante en équation, puis le résoudre.

1. Qu'est-ce qu'une équation ?

Le vocabulaire

Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, souvent noté \(x\), appelé l'inconnue.

Le signe \(=\) sépare deux membres :

\[\underbrace{3x + 100}_{\text{premier membre}} = \underbrace{400}_{\text{second membre}}\]

Une solution est une valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions.

On dit que l'équation est du premier degré car l'inconnue \(x\) n'apparaît qu'à la puissance 1 (pas de \(x^2\), pas de \(\frac{1}{x}\)).

Vérifier qu'un nombre est solution

On remplace \(x\) par le nombre dans chaque membre, on calcule séparément, puis on compare.

Est-ce que \(x = 100\) est solution de \(3x + 100 = 400\) ? Premier membre : \(3 \times 100 + 100 = 400\).

Second membre : \(400\).

Les deux membres sont égaux, donc \(100\) est solution : une mangue coûte 100 F CFA.

Quel nombre est solution de l'équation \(2x - 1 = 9\) ?

\(4\)
\(10\)
\(5\)

Pour \(x = 5\) : \(2 \times 5 - 1 = 10 - 1 = 9\). Les deux membres valent 9, donc 5 est solution.

2. Les deux règles de la balance

La balance en action

Résolvons \(3x + 2 = 14\) en suivant la balance, étape par étape.

On enlève les deux poids de 1 à gauche et 2 unités à droite : la balance reste équilibrée et il reste 3x = 12.

Trois boîtes identiques pèsent 12, donc une seule boîte pèse 12 ÷ 3 = 4 : la solution est x = 4.

Pour résoudre \(x + 7 = 15\), que faut-il faire aux deux membres ?

Ajouter 7
Soustraire 7
Diviser par 7

On soustrait 7 des deux côtés pour faire disparaître le \(+7\) : \(x = 15 - 7 = 8\).

3. La méthode de résolution

flowchart TD
A[Developper et reduire chaque membre] --> B[Regrouper les termes en x dans un membre]
B --> C[Regrouper les nombres dans l autre membre]
C --> D[Diviser par le nombre devant x]
D --> E[Verifier la solution]

Exemple résolu 1 : une équation simple

Résous \(4x - 5 = 11\).

Voir la solution

\begin{align} 4x - 5 &= 11\\ 4x - 5 + 5 &= 11 + 5\\ 4x &= 16\\ \frac{4x}{4} &= \frac{16}{4}\\ x &= 4 \end{align}

Vérification : \(4 \times 4 - 5 = 16 - 5 = 11\). La solution est \(4\).

Exemple résolu 2 : des \(x\) des deux côtés

Résous \(5x - 3 = 2x + 9\).

On soustrait \(2x\) aux deux membres pour ramener les \(x\) à gauche : \[5x - 2x - 3 = 9 \quad\text{donc}\quad 3x - 3 = 9\]

On ajoute \(3\) aux deux membres : \[3x = 12\]

On divise les deux membres par \(3\) : \[x = \frac{12}{3} = 4\]

Vérification : \(5 \times 4 - 3 = 17\) et \(2 \times 4 + 9 = 17\). Les deux membres sont égaux : la solution est \(4\).

Exemple résolu 3 : avec des parenthèses

Résous \(2(x + 3) = 5x - 9\).

On développe le premier membre : \[2x + 6 = 5x - 9\]

On soustrait \(2x\) aux deux membres : \[6 = 3x - 9\]

On ajoute \(9\) aux deux membres : \[15 = 3x\]

On divise par \(3\) : \[x = 5\]

Vérification : \(2(5 + 3) = 16\) et \(5 \times 5 - 9 = 16\). La solution est \(5\).

Exemple résolu 4 : avec une fraction

Résous \(\frac{x}{4} + 1 = 3\).

Voir la solution

\begin{align} \frac{x}{4} + 1 &= 3\\ \frac{x}{4} &= 2\\ x &= 2 \times 4 = 8 \end{align}

On a soustrait \(1\), puis multiplié les deux membres par \(4\). Vérification : \(\frac{8}{4} + 1 = 2 + 1 = 3\).

Voir la solution sur un graphique

Résoudre \(ax + b = c\), c'est chercher l'abscisse du point où la droite \(y = ax + b\) croise la droite horizontale \(y = c\). Avec les réglages de départ, tu vois \(2x + 3 = 11\) : les droites se croisent en \(x = 4\). Bouge les curseurs pour voir d'autres équations.

Quelle est la solution de \(7x + 2 = 3x + 14\) ?

\(3\)
\(4\)
\(\frac{16}{10}\)

\(7x - 3x = 14 - 2\), donc \(4x = 12\) et \(x = 3\). Vérification : \(7 \times 3 + 2 = 23\) et \(3 \times 3 + 14 = 23\).

Quelle est la solution de \(3(x - 2) = 9\) ?

\(\frac{11}{3}\)
\(5\)
\(1\)

On développe : \(3x - 6 = 9\), donc \(3x = 15\) et \(x = 5\). Ou plus vite : \(x - 2 = 3\), donc \(x = 5\).

4. Mettre un problème en équation

Pour résoudre un problème, on suit toujours quatre étapes : choisir l'inconnue, écrire l'équation, la résoudre, puis répondre par une phrase après avoir vérifié.

Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Choix de l'inconnue : soit \(x\) le prix d'un cahier, en F CFA.

Mise en équation : 3 cahiers coûtent \(3x\) et on ajoute le stylo : \[3x + 150 = 1\,050\]

Résolution : \(3x = 1\,050 - 150 = 900\), donc \(x = \frac{900}{3} = 300\).

Vérification et phrase réponse : \(3 \times 300 + 150 = 1\,050\). Un cahier coûte 300 F CFA.

Exemple résolu 5 : un partage

Kofi et sa sœur Adjoa se partagent 2 500 F CFA. Adjoa reçoit 500 F CFA de plus que Kofi. Combien reçoit chacun ?

Voir la solution

Soit \(x\) la part de Kofi, en F CFA. Celle d'Adjoa est \(x + 500\).

\begin{align} x + (x + 500) &= 2\,500\\ 2x + 500 &= 2\,500\\ 2x &= 2\,000\\ x &= 1\,000 \end{align}

Kofi reçoit 1 000 F CFA et Adjoa \(1\,000 + 500 = 1\,500\) F CFA. Vérification : \(1\,000 + 1\,500 = 2\,500\).

Un taxi-moto à Ouagadougou demande 200 F CFA de prise en charge, plus 100 F CFA par kilomètre. Aïcha a payé 900 F CFA. Quelle équation traduit la situation (\(x\) = nombre de kilomètres) ?

\(200x + 100 = 900\)
\(300x = 900\)
\(100x + 200 = 900\)

Chaque kilomètre coûte 100 F CFA, soit \(100x\), et on ajoute une seule fois les 200 F CFA. On trouve \(100x = 700\), donc \(x = 7\) km.

5. Erreurs fréquentes

Seydou résout \(x - 4 = 10\) et trouve \(x = 6\). Quelle est son erreur ?

Il a soustrait 4 au lieu d'ajouter 4 aux deux membres.
Il a divisé par 4.
Il n'a fait aucune erreur.

Pour faire disparaître le \(-4\), on ajoute 4 aux deux membres : \(x = 10 + 4 = 14\). Vérification : \(14 - 4 = 10\).

Récapitulatif

Une équation est une égalité avec une inconnue \(x\) ; une solution est une valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie.
On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres.
On peut multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul.
Méthode : développer, regrouper les \(x\) d'un côté et les nombres de l'autre, diviser, puis vérifier.
Pour un problème : choisir l'inconnue, écrire l'équation, la résoudre, vérifier et répondre par une phrase.

Équation

Égalité qui contient une inconnue, par exemple \(3x + 100 = 400\).

Solution

Valeur de \(x\) qui rend les deux membres égaux.

Règle 1 de la balance

\(a = b \iff a + c = b + c\) : même ajout ou même retrait des deux côtés.

Règle 2 de la balance

\(a = b \iff k a = k b\) avec \(k \neq 0\) : même multiplication ou même division des deux côtés.

Résoudre \(ax = b\)

Si \(a \neq 0\), on divise par \(a\) : \(x = \frac{b}{a}\).

Vérifier

Remplacer \(x\) dans chaque membre et comparer les deux résultats.